Question

6) Se log 2 = m e log 3 = n, calcule, em função de m e n, o valor de log48 72.

Answer 1

Vamos começar utilizando a propriedade da troca de base (mostrada abaixo) para reescrever o logaritmo dado (base 48) como um quociente de logaritmos na base 10.

$\boxed{{ \tt Propriedade~da~Troca~de~Base}:~~~\math \log_{b}a~=~\dfrac{\log_c a}{\log_c b}}$

$\log_{\,48}72~=~\dfrac{\log72}{\log48}$

Fatorando os logaritmandos 72 e 48:

$\log_{\,48}72~=~\dfrac{\log(2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3)}{\log(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3)}$

Aplicando agora a propriedade do logaritmo do produto (mostrado abaixo) nos dois logaritmos, poderemos reescreve-los como somas de logaritmos conhecidos.

$\boxed{{ \tt Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto}:~~~\math \log_{b}(a\cdot c)~=~\log_b a+\log_b c}$

$\log_{\,48}72~=~\dfrac{\log2+\log2+\log2+\log3+\log3}{\log2+\log2+\log2+\log2+\log3}$

Por fim, substituindo o valor dos logaritmos conhecidos, temos:

$\log_{\,48}72~=~\dfrac{m+m+m+n+n}{m+m+m+m+n}\\\\\\\boxed{\log_{\,48}72~=~\dfrac{3m+2n}{4m+n}}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$