Question

Considerando-se que sen (5*)=2/5 tem-se que cos(50*) =?

Answer 1

$\mathrm{sen}(5^{\circ})=\frac{2}{25}$


$\bullet\;\;$ Encontrando o cosseno de $5^{\circ}:$

$\cos^{2} (5^{\circ})+\mathrm{sen^{2}}(5^{\circ})=1\\ \\ \cos^{2} (5^{\circ})=1-\mathrm{sen^{2}}(5^{\circ})\\ \\ \cos^{2} (5^{\circ})=1-(\frac{2}{25})^{2}\\ \\ \cos^{2} (5^{\circ})=1-\frac{4}{625}\\ \\ \cos^{2} (5^{\circ})=\frac{625-4}{625}\\ \\ \cos^{2} (5^{\circ})=\frac{621}{625}\\ \\ \cos (5^{\circ})=\pm \sqrt{\frac{621}{625}}\\ \\ \cos (5^{\circ})=\pm \dfrac{\sqrt{621}}{25}$


Como $5^{\circ}$ é um ângulo agudo (pertence ao primeiro quadrante), o seu o cosseno de $5^{\circ}$ é positivo:

$\cos (5^{\circ})=\dfrac{\sqrt{621}}{25}$


$\bullet\;\;$ Encontrando o cosseno de $50^{\circ}:$

$\cos (50^{\circ})=\cos(45^{\circ}+5^{\circ})$


A fórmula do cosseno da soma de dois arcos é

$\cos(a+b)=\cos a\cdot \cos b-\mathrm{sen\,}a\cdot \mathrm{sen\,}b$

Aplicando a fórmula acima, fazendo

$a=45^{\circ}\;\text{ e }\;b=5^{\circ}$


$\cos (50^{\circ})=\cos(45^{\circ})\cdot \cos(5^{\circ})-\mathrm{sen}(45^{\circ})\cdot \mathrm{sen}(5^{\circ})\\ \\ \cos (50^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{621}}{25}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{25}\\ \\ \cos (50^{\circ})=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{621}-\sqrt{2}\cdot 2}{50}$


Colocando $\sqrt{2}$ em evidência no numerador, chegamos a

$\cos (50^{\circ})=\frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{621}-2)}{50}\\ \\ \boxed{\cos (50^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{50}\,(\sqrt{621}-2)}$


Resposta: alternativa $\text{b) }\cos (50^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{50}\,(\sqrt{621}-2).$