Respostas
Determinando a1:
Determinando a soma:
Resposta:
Fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PA
Dada a PA (a1, a2, a3, …, an – 2, an – 1, an), que possui n termos, observe que o primeiro termo é a1, o segundo é a2, …, o penúltimo é an – 1 e o último é an.
Representando a soma desses termos por Sn, teremos a seguinte expressão:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an
Em vez de somar os termos do mesmo modo que Gauss, reescreveremos a soma como outra soma de termos de PA logo abaixo dessa, de modo que o último termo fique abaixo do primeiro, o penúltimo fique abaixo do segundo e assim por diante.
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an
Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1
Observe que, se somarmos as duas expressões, teremos o dobro da mesma soma que Gauss fez.
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an
+ Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + … + (an – 2 + a3) + (an – 1 + a2) + (an + a1)
Mantendo o mesmo pensamento de Gauss, os resultados dessas somas entre parênteses serão iguais aos do primeiro termo somado ao último. Podemos substituir, portanto, todos os termos por (a1 + an). Observe:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)
Para finalizar, observe que a soma que obtivemos aqui é diferente da soma que Gauss obteve, pois possui exatamente os n termos que a PA possui. A de Gauss possuía apenas metade, pois ele somou os termos de uma mesma PA. A soma que desenvolvemos, contudo, possui todos, pois nós duplicamos cada termo antes de somá-los. Desse modo, podemos trocar toda a soma acima pela multiplicação por n, que é o número inicial de termos. Assim, resolvendo a equação, teremos a fórmula pretendida:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)
2Sn = n(a1 + an)
Sn = n(a1 + an)
2
*n é o número de termos; a1 e an são o primeiro e o último termo, respectivamente.
Exemplo
Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, …), calcule a soma dos seus 100 primeiros termos.
Para calcular essa soma, é necessário conhecer o último termo dessa PA. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral de uma PA.
an = a1 + (n – 1)r
a100 = 2 + (100 – 1)2
a100 = 2 + (99)2
a100 = 2 + 198
a100 = 200
Agora, usando a fórmula para soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos:
S100 = 100(2 + 200)
2
S100 = 100(202)
2
S100 = 20200
2
S100 = 10100