Question

Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x²- 4x +3 e y = 0
no intervalo 1 ≤ x ≤ 3. Para facilitar, desenhe o gráfico delimitado pelas curvas,
aplicando Bhaskara.

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$y = x {}^{2} - 4x + 3 \: \: \: e \: \: \: y = 0$

Primeiramente para encontrar a área formada entre essas funções, devemos encontrar os pontos de interseção entre as mesmas, ou seja, devemos igualá-las e resolver normalmente:

$x {}^{2} - 4x + 3 = 0 \longrightarrow \begin{cases}x_1 = 3 \\ x_2 = 1\end{cases}$

Na verdade não seria nem necessário encontrar os pontos de interseção, pois a questão já informa que a integração seria de 1 à 3. A integral que representa a área formada, será dada pela subtração da função de cima pela função de baixo, ou seja, a função constante menos a quadrática, então:

$\int\limits_{1}^{3}( - x {}^{2} + 4 x - 3)dx$

Integrando a função, temos:

$\int (x {}^{2} - 4x + 3)dx \longrightarrow - \frac{x {}^{3} }{3} + 2x {}^{2} - x \biggr |_{1}^{3}$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$- \frac{3 {}^{3} }{3} + 2.3 {}^{2} - 3.3 - \left( - \frac{1 {}^{3} }{3} + 2.1 {}^{2} - 3.1\right) \\ \\ - 9 + 18 - 9 + \frac{1}{3} - 2 + 3 \\ \\ \frac{1}{3} + 1 \\ \\ \frac{1 + 3}{3} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \frac{4}{3} }}$

Espero ter ajudado