• Matéria: Matemática
  • Autor: xeroxebenezer
  • Perguntado 5 anos atrás

A partir de uma função e sua derivada é possível identificar informações referentes ao crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade e presença de pontos de inflexão. Seja a função f open parentheses x close parentheses equals x e to the power of negative x end exponent. Assinale a alternativa que apresente valores referentes a seu(s) ponto(s) critico(s) e ponto(s) de inflexão.

Respostas

respondido por: Schmerega
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Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Anexos:
respondido por: silvapgs50
7

Analisando as derivadas da função f, temos que, ela possui um ponto crítico em x = 1 e um ponto de inflexão em x = 2.

Ponto crítico

Podemos calcular os pontos críticos de uma função igualando a primeira derivada a zero, nesse caso, temos que:

\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(xe^{-x}\right)\right)\right) = \frac{d}{dx}\left(x\right)e^{-x}+\frac{d}{dx}\left(e^{-x}\right)x = e^{-x}-e^{-x}x

e^{-x}-e^{-x}x = 0 \Rightarrow x = 1

Dessa forma, temos que, a função f(x) possui um ponto crítico em x = 1.

Ponto de inflexão

Um ponto de inflexão  de uma função é um ponto no gráfico dessa função onde ocorre a mudança no sentido da concavidade. Para identificar um ponto de inflexão podemos seguir os seguintes critérios:

  • A segunda derivada da função no ponto é zero.
  • A terceira derivada da função é não nula.

Para a função dada, temos que, a segunda derivada é igual a:

\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(xe^{-x}\right)\right) = \frac{d}{dx}\left(e^{-x}-e^{-x}x\right) = e^{-x}x-2e^{-x}

e^{-x}x-2e^{-x} = 0 \Rightarrow x = 2

Observando que a terceira derivada dessa função é não nula, pois:

\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(xe^{-x}\right)\right)\right) = \frac{d}{dx}\left(e^{-x}x-2e^{-x}\right) = -e^{-x}x+3e^{-x} \neq 0

Temos que, o ponto x = 2 é um ponto de inflexão.

Para mais informações sobre derivadas, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/48098014

#SPJ2

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