Question

A soma das medidas das 12 arestas de um paralelepípedo reto retângulo é 20. Dado que a diagonal do sólido mede √15, podemos afirmar corretamente que a sua área total é igual a...?

Answer 1

Boa tarde!

A figura tem 12 arestas, 4 a 4 iguais (4 alturas, 4 comprimentos, 4 larguras)
S=4(a+b+c)=20
a+b+c=5

A diagonal (ao quadrado) pode ser obtida pela seguinte expressão:
$d^2=a^2+b^2+c^2=15$

Área total:
A=2(ab+ac+bc)

Veja o que obtemos pela conta abaixo:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)\\ 5^2=15+A\\ 25=15+A\\ A=10$
Espero ter ajudado!

Answer 2

A área total do paralelepípedo é 10 unidades de área.

Sabemos que a soma das 12 arestas é igual a 20 unidades de comprimento. Um paralelepípedo possui 12 arestas e 3 dimensões, logo, cada dimensão representa 4 arestas que chamaremos de x, y e z. Então:

20 = x + x + x + x + y + y + y + y + z + z + z + z

20 = 4x + 4y + 4z

20 = 4(x + y + z)

x + y + z = 5

A diagonal de um paralelepípedo é dada pela fórmula:

√a²+b²+c²

Sabemos que essa diagonal mede √15 unidades, logo:

√15 = √x²+y²+z²

15 = x²+y²+z²

A área total do paralelepípedo é dada pelo dobro da soma dos produtos entre as dimensões, ou seja:

At = 2(xy + xz + yz)

Elevando a primeira equação ao quadrado, temos:

(x + y + z)² = 25

x² + xy + xz + y² + yx + yz + z² + zx + zy = 25

x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 25

(x² + y² + z²) + 2(xy + xz + yz) = 25

15 + 2(xy + xz + yz) = 25

2(xy + xz + yz) = 25 - 15

At = 10 unidades de área

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