Question

Determine α de modo que v = (α, 1 + α, 4α) seja combinação linear dos
vetores v1 = (0, 1, -3) e v2 = (4, 2, 1), para α pertencer R.

Answer 1

Olá, Igor.

Para que $v$ seja combinação linear de $v_1$ e $v_2$, estes três vetores devem ser linearmente dependentes.
Três vetores são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por suas coordenadas for igual a zero, ou seja, devemos ter:

$\left|\begin{array}{ccc} \alpha &1+ \alpha &4 \alpha \\0&1&-3\\4&2&1\end{array}\right|=0\Rightarrow\\\\\\ \alpha -12(1+ \alpha )+0-16 \alpha +6 \alpha -0=0\Rightarrow\\\\ \alpha -12-12 \alpha-16 \alpha +6 \alpha=0\Rightarrow\\\\-21 \alpha=12\Rightarrow\\\\ \alpha =-\frac{12}{21} \Rightarrow\\\\ \boxed{\alpha =-\frac{4}{7}}$