Question

resolva em R a seguinte equação Ι2x²+15x-3Ι=x²+2x-3

Answer 1

Resolver a equação

$|2x^{2}+15x-3|=x^{2}+2x-3$


$\bullet\;\;$ Condições de existência:

o módulo de um número real nunca é negativo:

$|2x^{2}+15x-3|\geq 0\;\;\Rightarrow\;\;x^{2}+2x-3\geq 0\\ \\ \\ x^{2}+3x-x-3\geq 0\\ \\ x\,(x+3)-1\,(x+3)\geq 0\\ \\ (x+3)\,(x-1) \geq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;x \leq -3\;\;\text{ ou }\;\;x\geq 1$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a equação:

$|2x^{2}+15x-3|=x^{2}+2x-3\\ \\ 2x^{2}+15x-3 =\pm(x^{2}+2x-3)$


Na última linha acima, temos duas equações:

$\mathbf{(i)}\;\;2x^{2}+15x-3=x^{2}+2x-3\\ \\ 2x^{2}-x^{2}+15x-2x-3+3=0\\ \\ x^{2}+13x=0\\ \\ x\,(x+13)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x=0&\;\text{ ou }\;&x+13=0\\ \\ x=0\text{ (n\~{a}o serve)}&\;\text{ ou }&x=-13 \end{array}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;x=-13$


$\mathbf{(ii)}\;\;2x^{2}+15x-3=-(x^{2}+2x-3)\\ \\ 2x^{2}+15x-3=-x^{2}-2x+3\\ \\ 2x^{2}+x^{2}+15x+2x-3-3=0\\ \\ 3x^{2}+17x-6=0\\ \\ 3x^{2}+18x-x-6=0\\ \\ 3x\,(x+6)-1\,(x+6)=0\\ \\ (x+6)\,(3x-1)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x+6=0&\;\text{ ou }\;&3x-1=0\\ \\ x=-6&\;\text{ ou }\;&3x=1\\ \\ x=-6&\;\text{ ou }\;&x=\frac{1}{3}\text{ (n\~{a}o serve)}\\ \\ \end{array}\\ \\ \Rightarrow\;\;x=-6$


As únicas soluções que satisfazem as condições de existência são:

$x=-13\;\text{ e }x=-6.$


Portanto, o conjunto solução é

$S=\{-13;\,-6\}$