Question

Dados os vetores u = (2,-4), v = (-5, 1) e w= (2, -1), determinar constantes a e b tais que:
au + bv
W =
O a. a = 1/3 e b = 1/6
ob. a = -1/3 e b =- 1/6
OC. a= 1/6 e b = -1/3
O d. a = -1/3 e b = 1/6

Answer 1

Temos os seguinte vetores:

$u = (2, - 4) , \: \: \: v = ( - 5,1) \: \: \: e \: \: \: w = (2, - 1)$

A questão quer saber o valor de duas constantes (a e b), que se relacionam através dessa relação:

$w = a.u + b.v$

Substituindo os vetores nos seus respectivos locais na expressão acima:

$(2, - 1) = a.(2, - 4) + b.( -5,1)$

Como sabemos, quando temos um escalar multiplicando um vetor, o resultado é um vetor só que com os seus valores multiplicados pela escalar, isso pode ser visto abaixo:

$\lambda\vec{a} = ( \lambda.a_x + \lambda.a_y)$

Aplicando essa "propriedade" no exercício:

$(2, - 1) = (2a, - 4a) + ( - 5b,b)$

Agora vamos somar os vetores, usando a seguinte relação:

$(a_1 , a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3) = (a1 + a_2,b_1 + b_2,a_3 + b_3)$

Aplicando mais essa relação:

$(2, - 1) = (2a - 5b, - 4a + b)$

"Por fim" é só usar a igualdade de vetores:

$2a - 5b = 2 \\ - 4a + b = - 1$

Observe que surgiu um sistema, então devemos resolvê-lo pelo método que for mais acessível:

$\begin{cases}2a - 5b = 2.( 2) \\ - 4a + b = - 1 \end{cases} \\ \\ \begin{cases} 4a - 10b = 4\\ - 4a + b = - 1 \end{cases} \\ \\ 4a - 4a - 10b + b = 4 - 1 \\ - 9b = 3 \\ b = \frac{3}{ - 9 } \\ b = - \frac{1}{3}$

Substituindo o valor de "b" em uma das equações:.

$- 4a + b = - 1 \\ - 4a - \frac{1}{3} = - 1 \\ - 4a = \frac{1}{3} - 1 \\ - 4a = \frac{1 - 3}{3} \\ - 4a = - \frac{2}{3} \\ a = \frac{ \frac{ - 2}{3} }{ - 4} \\ a = \frac{2}{12} \\ a = \frac{1}{6}$

Espero ter ajudado