Question

Se a > 0 eb> 0, considere as afirmações: I. log (a.b) = log a + log b II. log (a + b) = (log a) (log b) III. log 1 = 0 Então:

Answer 1

Antes de avaliar as assertivas feitas, vamos comentar a informação inicial dada no enunciado: a>0 e b>0.

Como estamos tratando de logaritmos, devemos estar atentos as condições de existência (C.E) dos logaritmos. São três estas condições como pode ser visto no esquema abaixo.

$Seja~o~logaritmo~\log_{\,x}y,~onde~"x"~\acute{e}~sua~base~e~"y",~o~\\logaritmando,~temos:\\\\C.E:~~\left\{\begin{array}{c}y>0\\x>0\\x\ne1\end{array}\right.$

Sendo assim, a>0 e b>0 está aí para nos garantir que todos logaritmos mencionados nas assertivas estejam bem definidos nos Reais, seguindo as C.E's dos logaritmos.

Vamos agora as assertivas.

I. Correto

Esta afirmação mostra a aplicação da propriedade do logaritmo do produto que diz que o logaritmo do produto de dois termos ("a" e "b") é igual a soma do logaritmo de "a" com o logaritmo de "b".

$\boxed{\tt{Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto}:~~ \log_{\,b}(a\cdot c)=\log_{\,b}a+\log_{\,b}c}$

II. Incorreto

Já nesta afirmação ocorre um erro muito comum. Devido a propriedade mostrada acima (logaritmo do produto), podemos ser induzidos a pensar que o produto de log(a) pelo log(b) é igual ao logaritmo da soma log(a+b), entretanto isto não é verdade.

III. Correto

Todo logaritmo com logaritmando 1, desde que a base respeite as C.E's, vale 0. No caso apresentado acima, como a base é omitida, temos o logaritmo decimal de 1, ou seja, o logaritmo de 1 na base 10.

Podemos verificar esta assertiva aplicando a definição de logaritmo como mostrado abaixo.

$De finicao~de~Logaritmo:~~\boxed{\log_{\,b}a=x~~~\Longleftrightarrow~~a=b^x}\\\\\\Aplicando~a~de finicao~em~\log1:\\\\\\\log1~=~x~\Longleftrightarrow~1~=~10^x\\\\\\Igualando~as~bases~na~igualdade~1=10^x~:\\\\\\10^0~=~10^x\\\\\\Numa~igualdade~de~potencias~de~mesma~base,~para~que~a~igualdade\\seja~mantida,~os~expoentes~devem~ser~igual,~logo:\\\\\\\backslash\!\!\!\!10^0~=~\backslash\!\!\!\!10^x\\\\\\\boxed{x~=~0}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$