Question

VALENDO 20 PONTOS!!! Se sec x=4, com 0 ≤ x ≤ π/2, então tg (2x) é igual a: 

Answer 1

sec = 1/cos
4 = 1/cos 
cos = 1/4

cos²x + sen²x = 1
(1/4)² + sen² = 1
sen² = 1 - 1/16
sen² = 15/16
sen = raiz 15/4

tg x = sen/cos
tg x = √15/4/1/4
tgx = √15

tg 2x = 2 * tg x / 1 - tg²x
tg 2x = 2 * √15 / 1 - (√15)²
tg 2x = 2 * √15 / 1 - 15
tg 2x = 2 * √15 / - 14
tg 2x = - √15/7

Answer 2

Como X está no primeiro quadrante, a Tangente de x terá que ser positiva.
E como secante é a "função inversa" do cosseno, podemos achar o valor do cosseno facilmente:
$Sec(x) = \frac{1}{cos(x)} \\ 4 = \frac{1}{cos(x)} \\ 4cos(x) = 1 \\ cos(x) = \frac{1}{4}$

Agora, pela fórmula fundamental da trigonometria, temos que sen²x + cos²x = 1; então calculemos o valor do Seno:
$Sen^2(x)+ (\frac{1}{4}) ^2 = 1 \\ Sen^2(x) = 1 - \frac{1}{16} \\ Sen^2(x) = \frac{15}{16} \\ Sen(x) = \sqrt{ \frac{15}{16} } \\ Sen(x) = \frac{ \sqrt{15} }{4}$

Sabemos que Tangente é Seno dividido pelo Cosseno:
$Tg(x) = \frac{Sen(x)}{Cos(x)} \\ Tg(x) = \frac{ \sqrt{15} }{4} / \frac{1}{4} \\ Tg(x) = \frac{4 \sqrt{15} }{4} \\ Tg(x) = \sqrt{15}$

Por fim, pela fórmula de arco duplo da tangente, achamos Tangente de 2x
$Tg(2x) = \frac{2Tg(x)}{1-Tg^2(x)} \\ Tg(2x) = \frac{2 \sqrt{15} }{1-( \sqrt{15}) ^2 } \\ Tg(2x) = \frac{2 \sqrt{15} }{1-15} \\ Tg(2x) = \frac{2 \sqrt{15} }{-14} \\ Tg(2x) = \frac{ \sqrt{15} }{-7}$