Question

Como fazer está aproximação quadrática? Anexo

Answer 1

1) Nótese que $f(a,b);f_x(a,b);f_y(a,b);f_{xx}(a,b);f_{xy}(a,b);f_{yy}(a,b)$ son constantes, y los demás son variables. Solo debe hallar $Q_x(x,y);Q_y(x,y);Q_{xx}(x,y);Q_{xy}(x,y);Q_{yy}(x,y)$ es evaluarlos en $(x,y)=(a,b)$.

2) 
$f(x,y)=e^{-x^2-y^2}\\ \\ f_x(x,y)=-2xe^{-x^2-y^2}\to f_x(0,0)=0\\ \\ f_y(x,y)=-2ye^{-x^2-y^2}\to f_y(0,0)=0\\ \\ \\ f_{xx}(x.y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(-2xe^{-x^2-y^2})=(e^{-x^2-y^2})\dfrac{\partial}{\partial x}(-2x)+(-2x)\dfrac{\partial}{\partial x}(e^{-x^2-y^2})\\ \\ f_{xx}(x.y)=-2(e^{-x^2-y^2}) +4x^2e^{-x^2-y^2}\to f_{xx}(0,0)=-2\\ \\ \\ f_{xy}(x,y)=4xye^{-x^2-y^2}\to f_{xy}(0,0)=0\\ \\ f_{yy}(x,y)=-2(e^{-x^2-y^2}) +4y^2e^{-x^2-y^2}\to f_{yy}(0,0)=-2$

entonces

$e^{-x^2-y^2}\approx e^{0}+0(x-0)+0(y-0)+\dfrac{1}{2}(-2)(x-0)^2+\dfrac{1}{2}(-2)(y-0)^2+\\ \\ \hspace*{6cm} +0(x-0)(y-0)\\ \\ \boxed{e^{-x^2-y^2}\approx 1-x^2-y^2}$

3) 
$f(x,y)=xe^y\to f(1,0)=1\\ \\ f_x(x,y)=e^y\to f_x(1,0)=1\\ f_y(x,y)=xe^y\to f_y(1,0)=1\\ \\ f_{xx}(x,y)=0\to f_{xx}(1,0)=0\\ f_{xy}(x,y)=e^y\to f_{xy}(1,0)=1\\ f_{yy}(x,y)=xe^y\to f_{yy}(1,0)=1\\ \\ \\ xe^y\approx 1+1(x-1)+1(y-0)+\dfrac{1}{2}\cdot 0(x-1)^2+\dfrac{1}{2}\cdot 1(y-0)^2+\\ \\ \hspace*{7cm} +1(x-1)(y-0)\\ \\ xe^y\approx 1+(x-1)+y+\dfrac{1}{2}y^2+(x-1)y\\ \\ \\ \boxed{xe^y\approx x+xy+\dfrac{1}{2}y^2}$

L es la función que se aproxima a las funciones dadas en el entorno de cada punto dado, es decir cuanto más pequeño sea el entorno, los valores tendrán menos error...

Graficas:
Azul: función original
amarillo: función aproximada (hasta el segundo orden)