Question

Divide-se o número 28 em três parcelas positivas, que colocadas em ordem crescente formam uma PG. Adicionando-se duas unidades à parcela do meio, a sequência obtida é uma progressão aritmética. Determine as três parcelas em progressão geométrica. *

Answer 1

A soma dos três termos da P.G. é 28:

$a_1 + a_2 + a_3 = 28$

Se adicionarmos duas unidades ao termo central, teremos a seguinte soma:

$a_1 + (a_2 + 2) + a_3 = 30$

Já que a soma também acrescenta duas unidades. Mas assim teremos uma P.A. E a soma dos termos de uma P.A. pode ser escrita como:

$S_n = \dfrac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$

Onde:

$S_n$  é a soma dos termos;

$n$ é o número de termos;

$a_1$ é o primeiro termo e

$a_n$ é o último termo.

Substituindo, teremos que:

$30 = \dfrac{3}{2} \cdot (a_1 + a_3)$

Ou:

$a_1 + a_3 = 30 \cdot \dfrac{2}{3}$

$a_1 + a_3 = 20$

Então, se a soma do primeiro com o terceiro é 20 e a soma dos três termos da P.G. é 28, isso significa que:

$\boxed{a_2 = 8}$

Então, a partir disso pode-se estimar que a solução da P.G. seja:

$\boxed{4, 8, 16}$

E que a solução da P.A. seja:

$4, 10, 16$