Question

Qual é o comprimento do intervalo que representa a interseção dos conjuntos A={x ∈ R | |x-2|<4} e {x ∈ R | |x-7|<2}?

Answer 1

$\bullet\;\;$ O conjunto $A$ é o conjunto solução da equação modular $|x-2|<4:$

$|x-2|<4\\ \\ -4<x-2<4$


Adicionando $2$ a todos os membros da dupla desigualdade acima, temos

$-4+2<x-\diagup\!\!\!\! 2+\diagup\!\!\!\! 2<4+2\\ \\ -2<x<6$


Portanto,

$A=(-2;\,6)$


$\bullet\;\;$ O conjunto

$B=\{x\in \mathbb{R}:\,|x-7|<2\}$

é o conjunto solução da equação modular $|x-7|<2:$
 
$|x-7|<2\\ \\ -2<x-7<2$


Adicionando $7$ a todos os membros da dupla desigualdade acima, temos

$-2+7<x-\diagup\!\!\!\! 7+\diagup\!\!\!\! 7<2+7\\ \\ 5<x<9$


Então,

$B=(5;\,9)$


$\bullet$ Encontrando a interseção dos conjuntos $A$ e $B:$

$A \cap B=(-2;\,6)\cap (5;\,9)\\ \\ A \cap B=(5;\,6)$


O comprimento deste intervalo é

$6-5=1.$

Answer 2

Resposta: (5,6)

Explicação passo-a-passo: o intervalo é aberto. Então o comprimento é menor que um e quase um. O comprimento só pode ser representado graficamente no conjunto dos reais. Ou um menos o infinitésimo.