3) Considere os anagramas formados a partir de MATEMATICA.
a) Quantos são?
b) Quantos começam pela letra A?
c) Quantos começam por vogal?
d) Quantos começam e terminam por vogal?
Respostas
Resposta:
a) 151 200 anagramas
b) 45 360 anagramas
c) 75 600 anagramas
d) 33 600 anagramas
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
Considere os anagramas formados a partir de MATEMATICA.
a) Quantos são?
b) Quantos começam pela letra A?
c) Quantos começam por vogal?
d) Quantos começam e terminam por vogal?
Resolução:
Antes de começarmos a fazer cálculos temos que analisar o que sabemos acerca desta palavra.
Tem 10 letras , mas não são todas diferentes.
Letra "A" aparece 3 vezes
Letra "M" aparece 2 vezes
Letra "T" aparece 2 vezes
Letra "E" aparece 1 vez
Letra "I" aparece 1 vez
Letra "C" aparece 1 vez
Em termos práticos vamos ver quantos espaços temos para preencher e como os vamos preencher.
Se não houvessem repetições para o primeiro lugar teríamos 10 possibilidades, para o segundo 9 possibilidades e assim por diante.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
O que ia dar → 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 10 ! = 3 628 800 hipóteses de construir anagrama com 10 letras
Chamamos a esta multiplicação de números decrescentes até "á unidade",
dez fatorial.
Como temos repetições de letras vamos usar a seguinte fórmula:
Total de anagramas = ( Número de Letras ) ! / ( x1 ! * x2 ! * x3 ! ... xn ! )
No denominador fica o número de vezes que cada letra aparece.
3 ! para o "A" → ( x1 ) ! neste caso 3 ! = 3*2*1
2 ! para o "M" → ( x2) ! neste caso 2 ! = 2*1
2 ! para o "T" → ( x3) ! neste caso 2 ! = 2*1
1 ! para o "E" → ( x4) ! neste caso 1 ! = 1
1 ! para o "I" → ( x5) ! neste caso 1 ! = 1
1 ! para o "C" → ( x6) ! neste caso 1 ! = 1
a) Quantos anagramas são?
Total de anagramas = 10 ! / ( 3 ! * 2 ! * 2 ! * 1 ! * 1 ! * 1 ! )
= ( 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 ) / [ (3*2*1)*(2*1)*(2*1)*1*1*1 ]
= ( 10*9*8*7*6*5*4*3*2 ) / ( 6*2*2 ])
Retirei todos os "1" porque multiplicar por "1" não altera o resultado.
Simplificar → o 6 e o 4 do numerador cancelam com 6 e 4 do denominador
= 10*9*8*7*5*3*2
= 151 200 anagramas
b) Quantos começam pela letra A?
A ( 9 letras com : "A" 2 vezes ; "M" 2 vezes ; "T" 2 vezes )
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
= ( 9! ) / (2!*2!*2!) = ( 9*8*7*6*5*4*3*2) / 8
Nota → 8 do numerador cancela com 8 do denominador
= 9*7*6*5*4*3*2
= 45 360 anagramas
c) Quantos começam por vogal?
A começar por vogal já vimos como é quando começa pelo "A".
No fim vamos adicionar os anagramas possíveis começados por "A"
Vamos ver os outros casos.
Começado por "E"
E ( 9 letras com : "A" 3 vezes ; "M" 2 vezes ; "T" 2 vezes )
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
= ( 9! ) / (3!*2!*2!)
= ( 9*8*7*6*5*4*3*2) / [(3*2)*2*2]
= ( 9*8*7*6*5*4*3*2) / (6*4)
Simplificar → o 6 e o 4 do numerador cancelam com 6 e 4 do denominador
= 9*8*7*5*3*2
= 15 120 anagramas
Começado por "I"
I ( 9 letras com : "A" 3 vezes ; "M" 2 vezes ; "T" 2 vezes )
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
Esta situação é igual à de começar por "E" = 15 120 anagramas.
Começar por vogal
= começar por "A" + começar por "E" + começar por "I"
= 45 360 + 15 120 + 15 120
= 75 600 anagramas
d) Quantos começam e terminam por vogal?
Temos várias hipóteses. Vamos ver uma a uma.
A ( 8 letras com : "M" 2 vezes ; "T" 2 vezes ) A
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
8! / ( 2 * 2 )
= ( 8*7*6*5*4*3*2 ) / 4
= 8*7*6*5*3*2
= 10 080
A ( 8 letras com : "A" 2 vezes ; "M" 2 vezes ; "T" 2 vezes ) I
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
8! / (2*2*2 )
= ( 8*7*6*5*4*3*2 ) / 8
= 40 320 / 8
= 5 040
I ( 8 letras com : "A" 2 vezes ; "M" 2 vezes ; "T" 2 vezes ) A
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
= 5 040
A ( 8 letras com : "A" 2 vezes ; "M" 2 vezes ; "T" 2 vezes ) E
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
= 5 040
E ( 8 letras com : "A" 2 vezes ; "M" 2 vezes ; "T" 2 vezes ) A
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
= 5 040
E ( 8 letras com : "A" 3 vezes ; "M" 2 vezes ; "T" 2 vezes ) I
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
8!/3! 2! 2!
= 40320/24
= 1680
I ( 8 letras com : "A" 3 vezes ; "M" 2 vezes ; "T" 2 vezes ) E
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
8!/3! 2! 2!
= 40320/24
= 1680
Começando e terminando por vogal
= AA ; AI ; IA ; AE ; EA ; EI ; IE
= 10 080 + 5 040 + 5 040 + 5 040 + 5 040 + 1 680 + 1 680
= 10 080 + 4 * 5 040 + 3 360
= 10 080 + 20 160 + 3 360
= 33 600 anagramas
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( ! ) fatorial de
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.