Question

Determine o perímetro do triângulo.
(A) 12 cm.
(B) 24 cm.
(C) 48 cm.
(D) 16 cm.
(E) 32 cm.

Answer 1

Resposta:

Alternativa letra c (48cm).

Explicação passo-a-passo:

Vamos nomear as circunferências de acordo com seus centros, ou seja, a circunferência de centro $O_1$ é nomeada $C_1$. Nomeemos também os pontos de tangência entre duas circunferência como $T_{C_a_C_b}$, por exemplo, a tangência (encontro) de

O perímetro do triângulo é a soma de seus três lados. Pela figura, sabemos os raios das três circunferências e podemos trabalhar com eles, basta perceber que cada um dos lados está "dividido" para as duas circunferências nos exatos pontos de tangência e, como os vértices do triângulo são os próprios centros das circunferências, a medida de uma parte do lado ao ponto de tangência da circunferência é a própria medida do raio. Para fixar ideias, mostro detalhadamente o processo para o lado $\overline{\rm O_1O_2}$:

Este segmento está dividido para as duas circunferências, $C_1 \mbox{ e } C_2$, pelo ponto de tangência delas, $T_{C_1C_2}$, isto é, $\overline{\rm O_1O_2} = \overline{\rm O_1T_{C_1C_2}} + \overline{\rm O_2T_{C_1C_2}}$, mas sabemos que esses dois segmentos são os próprios raios das circunferências, uma vez que tanto $O_1$, como $O_2$ são centros das circunferências e o ponto

Façamos o mesmo processo para os outros dois lados e encontramos $\overline{\rm O_1O_3} = 19cm$ e $\overline{\rm O_2O_3} = 17cm$. Daí vem que o perímetro, 2P, é: $2P = \overline{\rm O_1O_2} + \overline{\rm O_1O_3} + \overline{\rm O_2O_3} = 12cm + 19cm + 17cm = 48cm$, constante na alternativa letra c.