Question

derivadas parciais

Determine dz/dx e dz/dy:

z= 4 e^x²y²

Answer 1

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que as derivadas parciais de primeira ordem da referida função em termos das incógnitas "x" e "y" são, respectivamente:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{x}(x, y) = 8xy^{2}e^{x^{2}y^{2}}\:\:\:}}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{y}(x, y) = 8x^{2}ye^{x^{2}y^{2}}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} z = 4e^{x^{2}y^{2}}\end{gathered} }$

Sabendo que:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = f(x, y)\end{gathered}$

Podemos reescrever a função original como:

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} f(x, y) = 4e^{x^{2}y^{2}}\end{gathered} }$

Para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da referida função devemos lembrar da seguinte regra de derivação:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = e^{y}\Longrightarrow f'(x) = y'\cdot e^{y}\cdot\ln(e)\end{gathered}$

Então:

• Calculando a derivada parcial de primeira ordem da função em termos da incógnita "x".

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} f_{x}(x, y) = 4\cdot(2\cdot x^{2 - 1}\cdot y^{2})\cdot e^{x^{2}y^{2}}\cdot\ln(e)\end{gathered} }$

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = 4\cdot2xy^{2}\cdot e^{x^{2}y^{2}}\cdot 1\end{gathered} }$

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = 8xy^{2}e^{x^{2}y^{2}}\end{gathered} }$

       Portanto:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} f_{x}(x, y) = 8xy^{2}e^{x^{2}y^{2}}\end{gathered} }$

• Calculando a derivada parcial de primeira ordem da função em termos da incógnita "y".

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} f_{y}(x, y) = 4\cdot(2\cdot x^{2}\cdot y^{2 - 1})\cdot e^{x^{2}y^{2}}\cdot\ln(e)\end{gathered} }$

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = 4\cdot2x^{2}y\cdot e^{x^{2}y^{2}}\cdot 1\end{gathered} }$

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = 8x^{2}ye^{x^{2}y^{2}}\end{gathered} }$

       Portanto:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} f_{y}(x, y) = 8x^{2}ye^{x^{2}y^{2}}\end{gathered} }$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$