Question

qual e a area de um triangulo retangulo no qual a altura relativa a hipotenusa determina sobre essa hipotenusa segmentos que medem 32cm e 18 cm?

Answer 1

A área de um triângulo (A) é igual ao semi-produto de sua base (b) pela sua altura (h):
A = b × h ÷ 2 [1]
Então, precisamos conhecer a base e altura deste triângulo, a partir dos dados fornecidos pela questão:
1. A base (b) é a hipotenusa, que é a soma dos dois segmentos determinados pelo pé da altura:
b = 32 + 18 = 50 cm
2. A altura (h) de um triângulo retângulo é igual à média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
h = √32 × 18
h = √576
h = 24

Então, a área do triângulo [1] é igual a:
A = 50 × 24 ÷ 2
A = 600 cm²

Obs.: A justificativa para a obtenção da altura: 
Em um triângulo retângulo, a altura o divide em outros dois triângulos retângulos, formados pela altura (h) e pela projeção do cateto menor (n) sobre a hipotenusa e pela projeção do cateto maior sobre a hipotenusa (m) e a altura (h). Como estes dois triângulos são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais:
h/n = m/h
Multiplicando-se os meios pelos extremos, ficamos com:
h² = m × n
h = √m × n