Question

Decida se o $\lim_{(x,y) \to \ (0,0)} (x^{2}+ y) : ( x^{2} + y^{2})$ existe ou não. Preciso da resposta com explicação, por favor.

Answer 1

$supondo\ x=t, y=0 \\ \\ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{t^2+0}{t^2+0^2} \\ \\ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{t^2}{t^2}=1$

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$supondo\ x=0, y=t \\ \\ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{0^2+t}{0^2+t^2} \\ \\ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{t}{t^2} \\ \\ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1}{t}$

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$supondo\ x=t, y=t \\ \\ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{t^2+t}{t^2+t^2} \\ \\ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{t(t+1)}{2t^2} \\ \\ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{t+1}{2t}$

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Como os três caminhos conduzem a valores diferentes para o limite, concluímos que o limite para essa função quando x e y tendem a zero NÃO EXISTE.


$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2+y}{x^2+y^2} = \nexists$


:)