Question

A) calcule a distância do ponto p= (3,-1) a reta que passa pelos pontos A= (5,-3) e B= (2,-1)​



B) calcule a distância do ponto p= (-4,0) a reta de equação 2x+y+1=0​

Answer 1

Resposta:

A ) d = 2 /  $\sqrt{13}$  u.c.  

B ) d = 7 / $\sqrt{5}$   u.c.  

( tem em ficheiro anexo o gráfico da reta usada em alínea A) ;

para aceder clicar em "baixar pdf " )

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

A) calcule a distância do ponto P = ( 3 , - 1 ) a reta que passa pelos pontos

A= ( 5, - 3 ) e B = ( 2 ,- 1 )​

B) calcule a distância do ponto P = ( - 4 , 0 ) a reta de equação 2x+y+1=0​

Resolução:

A) distância de do ponto P à reta que ainda não se conhece a equação

1º Passo - Calcular a equação geral da reta

É do tipo ax + by + c = 0

Vou encontrá-la através da seguinte fórmula:

( y - y0 ) = m * ( x - x0)    (I)

Onde "m" é o coeficiente angular

( x0 ; y0) são as coordenadas de um ponto conhecido como pertencendo à reta.

Fórmula do coeficiente angular  ( m )

$m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}$

Tomemos que ponto A (x1 ; y1) e ponto B ( x2; y2)

ou seja   A= ( 5, - 3 ) e B = ( 2 ,- 1 )

m = $\frac{-1-( -3)}{2-5}$

m = 2/ ( - 3 ) = - 2/3

Pegando em (I) e usando o ponto B ( 2; - 1)

(y - ( - 1)) = - (2/3) *( x - 2 )

(y + 1 ) / 1 = ( - 2 * ( x - 2 )) /3

O primeiro membro tem denominador 1

O segundo membro tem denominador 3

Vamos multiplicar o numerador e o denominador, do 1º membro por 3.

(3* ( y + 1 )) / 3 = ( - 2x + 4) /3

Agora que todos os termos da equação têm o mesmo denominador, podemos retirar os denominadores.

E passámos tudo para o 1º membro.  

3y + 3 + 2x - 4 = 0

2x + 3y - 1 = 0  Esta é a equação geral da reta

2º passo - Cálculo da distância de P à reta

a = 2        b = 3       c = - 1

E ponto P ( 3 ; - 1 )

$d = \frac{|axo +byo+c|}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$      Fórmula da distância de um ponto a uma reta, no plano

Onde ( xo; yo) são coordenadas desse ponto P .

d = | 2 * 3 + 3 * ( - 1 ) - 1 | / $\sqrt{2^{2}+3^{2} }$

d = | 6 - 3 - 1 | / $\sqrt{13}$

d = 2 /  $\sqrt{13}$  u.c.

B)  Cálculo direto da distância

P = ( - 4 , 0 ) e a reta de equação   2x + y + 1 = 0

a = 2     b =  1     c = 1

d = |​ 2 * ( - 4 ) + 1 * 0 + 1 | / $\sqrt{2^{2}+1^{2} }$

d = | - 8 + 1 | / $\sqrt{5}$

d = 7 / $\sqrt{5}$

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir   ( u.c.) unidade de comprimento

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.

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