Question

Boa tarde!!!! Eu queria muito saber como faz essa questão, se alguém souber por favor me ajude. Ficarei muito grata.

Answer 1

$\bullet\;\;$ Observe a figura 1 em anexo.

Suponha que as diagonais do losango se cruzem no ponto $O$ formando um ângulo reto em $O.$

Como $ABCD$ é um losango, as diagonais se cortam pela metade:

$OB=\dfrac{BD}{2}\\ \\ \\ OB=\dfrac{32}{2}\\ \\ \\ OB=16\text{ cm}\\ \\ \\ \\OA=\dfrac{AC}{2}\\ \\ \\ OA=\dfrac{24}{2}\\ \\ \\ OA=12\text{ cm}$


Como $AOB$ é retângulo, segue que

$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}\\ \\ AB^{2}=12^{2}+16^{2}\\ \\ AB^{2}=144+256\\ \\ AB^{2}=400\\ \\ AB=20\text{ cm}$


$\bullet\;\;$ Observe a figura 2 em anexo.

Nela, detalhamos todas as medidas que serão utilizadas. É a forma detalhada da figura 1.


$\bullet\;\;$ Observe a figura 3 em anexo.

Nesta figura, separamos os triângulos $APN$ e $NQB.$

Os triângulos $AOB,$ $APN$ e $NQB$ são semelhantes entre si.


Da semelhança entre $NQB$ e $AOB$ tiramos que

$\dfrac{NQ}{QB}=\dfrac{OA}{OB} \\ \\ \\ \dfrac{y}{16-x}=\dfrac{12}{16}\\ \\ \\ \dfrac{y}{16-x}=\dfrac{3}{4}\\ \\ \\4y=3\,(16-x)\\ \\ \\y=\dfrac{3\,(16-x)}{4}\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Observe a figura 4 em anexo.

Se $PQ=z,$ então queremos minimizar o valor de $z.$


Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo $POQ,$ temos

$PQ^{2}=OP^{2}+OQ^{2}\\ \\ z^{2}=x^{2}+y^{2}$


Substituindo a relação encontrada em $\mathbf{(i)},$ temos

$z^{2}=x^{2}+\left[\dfrac{3\,(16-x)}{4} \right ]^{2}\\ \\ \\ z^{2}=x^{2}+\dfrac{3^{2}\,(16-x)^{2}}{4^{2}}\\ \\ \\ z^{2}=x^{2}+\dfrac{9\,(16-x)^{2}}{16}$


Multiplicando os dois lados por $16,$ temos

$16z^{2}=16x^{2}+9\,(16-x)^{2}\\ \\ 16z^{2}=16x^{2}+9\,(16^{2}-2\cdot 16x+x^{2})\\ \\ 16z^{2}=16x^{2}+9\,(256-32x+x^{2})\\ \\ 16z^{2}=16x^{2}+9\cdot 256-9\cdot 32x+9x^{2}\\ \\ 16z^{2}=16x^{2}+2\,304-288x+9x^{2}\\ \\ 16z^{2}=25x^{2}-288x+2\,304$


Queremos minimizar a equação acima, então

$\min\{16z^{2}\}=\min\{25x^{2}-288x+2\,304\}$


No lado direito, temos uma expressão de segundo grau em $x.$ Preferi deixar todos os coeficientes em forma de potência para evitar trabalhar com números de valores elevados.

$25x^{2}-288x+2\,304\\ \\ =(5^{2})x^{2}-(2^{5}\cdot 3^{2})x+(2^{8}\cdot 3^{2})\;\;\;\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=5^{2}\\ b=-2^{5}\cdot 3^{2}\\ c=2^{8}\cdot 3^{2} \end{array} \right.$


Encontrando o discriminante $\Delta:$

$\Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-2^{5}\cdot 3^{2})^{2}-4\cdot 5^{2}\cdot (2^{8}\cdot 3^{2})\\ \\ \Delta=2^{10}\cdot 3^{4}-2^{10}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\\ \\ \Delta=2^{10}\cdot 3^{2}\cdot (3^{2}-5^{2})\\ \\ \Delta=2^{10}\cdot 3^{2}\cdot (9-25)\\ \\ \Delta=2^{10}\cdot 3^{2}\cdot (-16)\\ \\ \Delta=-2^{10}\cdot 3^{2}\cdot 2^{4}\\ \\ \Delta=-2^{14}\cdot 3^{2}$


O valor mínimo da expressão do segundo grau é dado por

$\dfrac{-\Delta}{4a}\\ \\ \\ =\dfrac{2^{14}\cdot 3^{2}}{4\cdot 5^{2}}\\ \\ \\=\dfrac{2^{14}\cdot 3^{2}}{2^{2}\cdot 5^{2}}\\ \\ \\ =\dfrac{2^{12}\cdot 3^{2}}{5^{2}}$


Então, temos que

$\min\{16z^{2}\}=\dfrac{2^{12}\cdot 3^{2}}{5^{2}}\\ \\ \\ 16\cdot \min\{z^{2}\}=\dfrac{2^{12}\cdot 3^{2}}{5^{2}}\\ \\ \\ 2^{4}\cdot \min\{z^{2}\}=\dfrac{2^{12}\cdot 3^{2}}{5^{2}}$


Dividindo os dois lados por $2^{4},$ temos

$\min\{z^{2}\}=\dfrac{2^{8}\cdot 3^{2}}{5^{2}}\\ \\ \\ \min\{z\}=\sqrt{\dfrac{2^{8}\cdot 3^{2}}{5^{2}}}\\ \\ \\ \min\{z\}=\dfrac{2^{4}\cdot 3}{5}\\ \\ \\ \min\{z\}=\dfrac{16\cdot 3}{5}\\ \\ \\ \min\{z\}=\dfrac{48}{5}\\ \\ \\ \min\{z\}=9,6\text{ cm}.$


Resposta: alternativa $\text{c) }9,6\text{ cm.}$