Question

Um bloco desliza de uma rampa sem atrito como mostrado na figura. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado vale Uc. Utilize considerações de energia para calcular a altura máxima que o bloco irá atingir.

Answer 1

Usando o teorema da conservação de energia, encontramos o valor da altura $y_{max}$ valendo (em função de $h$)

$y_{max}= \dfrac{h}{1+\mu\dfrac{cos(\theta)}{sen(\theta)}}$

Para isso, calculamos o trabalho do atrito (a partir da força) e computamos a energia perdida e a altura $y_{max}$

Começamos com a conservação de energia.

Do "lado direito" não há atrito. Então o teorema da energia cinética garante que

$E_{total} = E_{potencial} + E_{cinetica}$

(lembrando que $E$ é sempre constante).

No ponto A, temos $E_{cinetica}=0$ e E_{potencial}=mgh[/tex]

Quando o bloco atingir a altura $y_max$ na rampa, vai ter perda de energia.

Esta perda de energia é calculada por $\Delta E = mgh-mgy_{max}$

Ao subir a rampa, a força Peso é decomposta em duas partes.

A força Normal e a força $P_x$

(Vamos usar apenas a Normal)

O bloco está em equilíbrio com o plano (nem flutua e nem afunda)

Isto significa que $N=P_y$

Mas $P_y = P \,cos(\theta)=mg \,cos(\theta)$

Além disso, a força de atrito é dada por $F_{at}=\mu N=\mu \, mg\, cos(\theta)$

Uma vez que temos a força, podemos calcular a energia da força.

O bloco vai percorrer uma distância $d$ da rampa.

$W = F_{at}\cdot d=\mu N=\mu \, mg\, cos(\theta)\cdot d$

A rampa é um "triângulo" e podemos relacionar a altura com a distância $d$ (hipotenusa) através da equação

$sen(\theta)=\frac{y_{max}}{d}$ e reescrevemos $d=\frac{y_{max}}{sen(\theta)}$

Portanto o trabalho da força de atrito será

$W = F_{at}\cdot d=\mu N=\mu \, mg\, cos(\theta)\cdot \frac{y_{max}}{sen(\theta)}$

Mas este trabalho é a energia perdida $\Delta E$

$\mu \, mg\, cos(\theta)\cdot \frac{y_{max}}{sen(\theta)} = mgh -mgy_{max}$

$\mu \, {\bf mg}\, cos(\theta)\cdot \frac{y_{max}}{sen(\theta)} = {\bf mg}(h -y_{max})$

$\mu \,cos(\theta)\cdot \frac{y_{max}}{sen(\theta)} = h -y_{max}$

$\mu \,cos(\theta)\cdot \frac{y_{max}}{sen(\theta)} +y_{max}= h$

$y_{max}(\mu \,cos(\theta)\cdot \frac{1}{sen(\theta)} +1)= h$

E por fim encontramos:

$y_{max}= \dfrac {h}{\mu \,cos(\theta)\cdot \frac{1}{sen(\theta)} +1}$