Question

A equação das retas tangente e normal a y = f(x) = $4x^{4} - 3x^{3} +8$ em x = 2.

Answer 1

1. Reta tangente

O coeficiente angular da reta tangente a uma curva é igual a derivada da função desta curva em um determinado ponto.

f(x) = 4x⁴ - 3x³ + 8
f'(x) = 16x³ - 9x²
f'(2) = 16 * (2)³ - 9*(2)² = 128 - 36 = 92

O coeficiente angular da reta é 92, então a equação da reta é:

y = 92x + b

Para encontrar b, precisamos do ponto em que esta reta é tangente a curva f(x)

f(x) = 4x⁴ - 3x³ + 8
f(2) = 4 *(2)⁴ - 3*2³ + 8
f(2) = 64 - 24 + 8 = 48

Então o ponto é (2,48), substituindo em:

y = 92x + b
48 = 92 * 2 + b
b = 48 - 184
b = -136

Então a reta tangente a curva f(x) no ponto (2,48) tem equação:

y = 92 x - 136
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2. Reta Normal

A reta normal a curva f(x) no ponto (2,48) tem coeficiente angular igual a -1/a(tan), onde a(tan) é o coeficiente angular da reta tangente, sendo assim:

a(normal) = -1/a(tan) = -1/92

Então a equação da reta normal é da forma:

y = -1/92 x + b

No ponto (2,48)

y = -1/92 x + b
48 = -2/92 + b
b = 48 + 1/46
b = 2209/46


A equação da reta normal é:

y = -1/92x+2209/46