Question

Um raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 min/s. Quão rápido o volume está aumentando quando o diâmetro for 80 mm.

Uma película está se movimentando ao longo de uma hipérbole xy=8. Quando atinge o ponto [4,2] a coordenada y está decrescendo a uma taxa de 3cm/s. Quão rápido a coordenada x está variando nesse movimento.

Answer 1

1) O volume de uma esfera de raio $r$ é dado por

 $V(r)=\dfrac{4}{3}\,\pi r^{3}$


O raio varia com o tempo $t.$ Logo, $r$ é uma função de $t:$

$r=r(t)$


Se o raio aumenta a uma taxa de $4\text{ mm/s},$ então

$\dfrac{dr}{dt}=4\text{ mm/s}$



No instante em que o diâmetro for $80\text{ mm},$ o raio será de

$r=80:2=40\text{ mm}$


Queremos encontrar a taxa de variação do volume $V$ da esfera em relação ao tempo. Aplicando a Regra da Cadeia, temos

$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot \dfrac{dr}{dt}\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{4}{3}\,\pi r^{3}\right)\cdot (4)\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4}{3}\,\pi\cdot \dfrac{d}{dr}(r^{3})\cdot (4)\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4}{3}\,\pi\cdot (3r^{2})\cdot (4)\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}=16\pi r^{2}$


Logo, quando o raio for $40\text{ mm,}$ o volume da esfera estará aumentado a uma taxa de

$\dfrac{dV}{dt}_{(r=40)}=16\pi \cdot (40)^{2}\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}_{(r=40)}=16\pi \cdot 1\,600\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}_{(r=40)}=25\,600\pi\text{ mm}^{3}\text{/s}\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}_{(r=40)}\cong 25\,600\cdot 3,14\text{ mm}^{3}\text{/s}\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}_{(r=40)}\cong 80\,384\text{ mm}^{3}\text{/s}$


2) Podemos pensar na curva

$xy=8\;\;\Rightarrow\;\;y=\dfrac{8}{x}$

como uma curva paramétrica, onde a abscissa e a ordenada variam com o tempo:

$\left\{\begin{array}{c} x=x(t)\\ y=y(t) \end{array}\right.$


Sendo assim, o enunciado informa que, quando

$x=4\;\;\text{ e }\;\;y=2$

a ordenada $y$ está decrescendo a uma taxa de $3\text{ cm/s}:$

$\dfrac{dy}{dt}=-3\text{ cm/s}$


Queremos descobrir a taxa de variação de $x$ neste instante. Aplicando a Regra da Cadeia, temos

$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt}\\ \\ \\ 3=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{8}{x}\right)\cdot \dfrac{dx}{dt}\\ \\ \\ 3=-\dfrac{8}{x^{2}}\cdot \dfrac{dx}{dt}\\ \\ \\ \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{3x^{2}}{8}$


No instante em que $x=4,$ temos

$\dfrac{dx}{dt}_{(x=4)}=-\dfrac{3\cdot 4^{2}}{8}\\ \\ \\ \dfrac{dx}{dt}_{(x=4)}=-\dfrac{3\cdot 16}{8}\\ \\ \\ \dfrac{dx}{dt}_{(x=4)}=-6\text{ cm/s}$


Portanto, no ponto $(4;\,2)$ a abscissa $x$ está decrescendo a uma taxa de $6\text{ cm/s}.$