Question

Assinale a alternativa que corresponde ao valor de k de modo que a função f(x), tal que f(x) = 5x+4 se x≠1 e f(x)=k+1, se x=1, seja contínua

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \begin{cases}5x + 4 \: \: se \: \: x \neq 1 \\ k + 1 \: \: se \: \: x = 1 \end{cases}$

Para sabermos o valor de "k" que torna essa função contínua, devemos lembrar das 3 condições que tornam uma função contínua:

$1) \: f(x) \to definida \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 2)\lim_{x\to a^{ + }}f(x) = \lim_{x\to a^{ - }}f(x) \\ 3)\lim_{x\to a^{}}f(x) = f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Vamos seguir esse "roteiro".

• Verificação da primeira condição:

Se observarmos é possível ver que a função é definida quando x = 1 e ela possui como resultado k + 1, escrevendo isso:

$f(1 ) = k + 1$

• Verificação da segunda condição:

Os limites laterais devem ser iguais, isto é, o limite bilateral deve existir. Como limite é um ferramenta de aproximação, não podemos usar a função em que tem-se x = 1, pois estaríamos trabalhando com o valor exato e limite é uma aproximação de tal valor, então devemos usar a expressão x ≠ 1:

$\lim_{x\to 1^{ + }}5x + 4 = \lim_{x\to 1^{ - }}5x + 4 \\ 5.1 + 4 = 5.1 + 4 \\ 9 = 9$

De fato são iguais.

• Verificação da terceira condição:

A função definida deve possui o mesmo valor que o limite bilateral, logo:

$\lim_{x\to a^{}}f(x) = f(x) \\ 9 = k + 1 \\ k = 9 - 1 \\ \boxed{k = 8}$

Espero ter ajudado