Question

urgenteeeeeeeeeeeeeeeee


Sabendo que – 3 é raiz da equação 2x 4 − 3x 3 − 13x 2 + 37x − 15, determine as outras raízes.

Answer 1

Resposta:

raizes: x1 = -3, x2 = 1/2 x3 = 2+i x4 = 2-i

Explicação passo-a-passo:

$f(x) = 2x^{4} - 3x^{3} - 13x^{2} +37 x - 15$

sabendo que -3 é raiz, podemos dividir o f(x) por (x - (-3)), isto é (x+3)

$\frac{2x^{4} - 3x^{3} - 13x^{2} +37 x - 15}{x+3}$

$(ax^{3} + bx^{2} + cx + d) (x+3) = 2x^{4} - 3x^{3} - 13x^{2} + 37x - 15\\\\ax^{4} = 2x^{4}\\a = 2\\\\bx^{3} + 3ax^{3} = -3x^{3}\\x^{3} (b + 3. 2) = -3 x^{3}\\b + 6 = -3\\b = -9\\\\cx^{2} + 3bx^{2} = -13x^{2}\\x^{2} [c + 3 (-9)] = -13x^{2}\\c - 27 = -13\\c = 14\\\\dx + 3cx = 37x\\x (d + 3 . 14) = 37x\\d + 42 = 37\\d = -5\\\\entao$

$\frac{2x^{4} - 3x^{3} - 13x^{2} +37 x - 15}{x+3} = 2x^{3} - 9x^{2} + 14x - 5$

logo precisamos achar a raiz de

$2x^{3} - 9x^{2} + 14x - 5 = 0$

Vamos treinar sua sensibilidade?

se x = 0, f(x) = -5, certo?

se x = 1, f(x) = 2 - 9 + 14 - 5 = 2

veja que para

x = 0, f(x) <0 e

x = 1,  f(x) > 0

um x para que f(x) = 0 é tal que 0 < x < 1

vamos testar para 1/2

f(1/2) = 2 (1/8) - 9(1/4) + 14 (1/2) - 5 = 1/4 - 9/4 + 7 - 5

f(1/2) = -8/4 + 2

f(1/2) = -2 + 2

f(1/2) = 0, entao, 1/2 é um raiz

$\frac{2x^{3} - 9x^{2} + 14x - 5}{x-\frac{1}{2} } = ax^{2} + bx + c \\(ax^{2} + bx + c) (x - \frac{1}{2} ) = 2x^{3} - 9x^{2} + 14x - 5\\\\a = 2\\\\b - a/2 = -9\\b - 1 = -9\\b = -8\\\\c - b/2 = 14\\c + 4 = 14\\c = 10\\\\2x^{3} - 9x^{2} + 14x - 5 = (2x^{2} - 8x + 10) (x - \frac{1}{2} )$

Agora falta calcular outras 2 raizes...

$2x^{2} - 8x + 10 = 0$

∆ = 64 - 4(2)(10)

∆ = 64 - 80 = -16

x = (8 ± √-16) / 4

x = (8±4i)/4

x = 2±i

raizes: x1 = -3, x2 = 1/2 x3 = 2+i x4 = 2-i