Question

Determine uma equação geral do plano que contém o ponto A (1,2,1) e a reta de interseção do plano x-2y+z-3=0 com o plano yOz.

Answer 1

Resposta:

Podemos encontrar uma infinidade de equações de retas interseção dos dois planos, apenas fazendo um sistema linear e tentando encontrar dois pontos comuns a esses planos, ou seja, pontos que pertencem aos dois planos ao mesmo tempo. Mas seguiremos a seguinte estratégia para encontrar uma equação de uma reta interseção dos dois planos, lembrando que a equação do plano y0z é x = 0.

Segue o sistema que diz que a reta r é a interseção dos planos π1 e π2, agora vamos resolvê-lo.

Poderíamos fazer x = λ, y = λ ou z = λ. No caso vamos escolher y = λ.

A partir das contas, já sabemos o valor de x e de z, agora vamos para a etapa final:

A equação paramétrica de uma das infinitas retas interseção dos dois planos é:

E sua equação vetorial é:

Se o plano contém o ponto A, sendo que também contém a reta interseção dos dois planos, então temos que encontrar mais dois pontos, B e C, pertencentes à reta, para podermos montar a equação geral do plano com esses pontos A, B e C. Para encontrarmos dois pontos pertencentes à reta, basta atribuírmos qualquer valor para λ. Fazendo isso temos os pontos:

A = (1,2,1)

B = (0,1,5)

C = (0,2,7)

Lembrando que para a equação do plano, temos que ter os vetores u e v, sendo que u = AB e v = AC, e com isso, os vetores do plano, são:

u = (-1,-1,4)

v = (-1,0,6)

Colocando o ponto A e os vetores u e v na matriz, obtemos o seguinte resultado como equação geral do plano:

Lembrando que assim como podemos encontrar diversas equações de retas interseção de dois planos, existem também infinitas equações de planos que poderíamos encontrar, que também contém o ponto A e as retas interseção dos planos.