• Matéria: Matemática
  • Autor: laviniahesp
  • Perguntado 5 anos atrás

Dada a pa (3, 7, 11, ...) determine a soma dos termos 31° ao 50°​

Respostas

respondido por: PhillDays
2

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\large\green{\boxed{\blue{\sf~~~S_{20} = 3.220~~~}}}

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\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}

\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}

❄☃ \sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly}) ☘☀

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☺lá, Lavinia, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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☔ Encontrar a razão de uma P.A. quando temos dois números seguidos é simples: basta subtrair o segundo pelo primeiro.

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\large\gray{\boxed{\rm\blue{r = 7 - 3 = 4}}}

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☔ Já para encontrar o n-ésimo termo, caso ele seja um dos primeiros, podemos também encontrá-lo de forma quase intuitiva ao encontrarmos todos os seus antecessores, um por um. Mas e se o n-ésimo termo for o 50º? Ou o 100º? Pela estrutura da progressão aritmética apresentar um comportamento padronizado podemos generalizar o processo através da equação

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\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r } & \\ & & \\ \end{array}}}}}

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\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf a_n} sendo o n-ésimo termo da p.a.;

\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf a_1} sendo o primeiro termo da p.a.;

\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf n} sendo a posição do termo na p.a.;

\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf r} sendo a razão da p.a.

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☔ Nosso trigésimo primeiro número será, portanto

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\sf\blue{a_{31} = 3 + (31 - 1) \cdot 4}

\sf\blue{a_{31} = 3 + 30 \cdot 4}

\sf\blue{a_{31} = 3 + 120}

\sf\blue{a_{31} = 123}

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☔ Nosso quinquagésimo número será, portanto

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\sf\blue{a_{50} = 3 + (50 - 1) \cdot 4}

\sf\blue{a_{50} = 3 + 49 \cdot 4}

\sf\blue{a_{50} = 3 + 196}

\sf\blue{a_{50} = 199}

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☔ Com o primeiro e o último termo da P.A. que desejamos encontrar a soma podemos tomar nosso primeiro termo como sendo a_1 e nosso último termo como sendo a_n. Neste caso temos que a_1 = 123, n = 20 e a_{20} = 199. Temos que para encontrarmos a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética utilizamos a equação

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\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{ S_n = \dfrac {(a_1 + a_n) \cdot n}{2} } & \\ & & \\ \end{array}}}}}

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\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf a_n} sendo o n-ésimo termo da p.a.;

\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf a_1} sendo o primeiro termo da p.a.;

\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf n} sendo a posição do termo na p.a.;

\pink{\Longrightarrow}~\orange{\sf S_n} sendo a soma dos n primeiros termos da P.G.

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☔ Portanto, com os termos do enunciado temos que

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\sf\blue{S_{20} = \dfrac{(123 + 199) \cdot 20}{2}}

\sf\blue{S_{20} = \dfrac{(322) \cdot 20}{2}}

\sf\blue{S_{20} = \dfrac{6.440}{2}}

\sf\blue{S_{20} = 3.220}

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\large\green{\boxed{\blue{\sf~~~S_{20} = 3.220~~~}}}

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✋ Uma outra forma que poderíamos ter feito este exercício seria calculando a soma da p.a. de 3 até 199, em seguida calculando a soma da p.a. de 3 até 123 e por fim subtraindo a primeira soma da segunda, o que resultaria somente na soma dos termos 123 ao 199. Experimente fazer em casa e veja qual método você acha mais prático. ✋

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\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}

\bf\large\blue{Bons\ estudos.}

(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}) ☄

\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX

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\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}

Anexos:

PhillDays: Oi, Lavinia. Dá um conferida de novo no exercício pq eu troquei um valor em uma das contas e acabei chegando numa resposta incorreta mas agora já está arrumado. Me desculpe pela confusão.
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