Question

sendo$f(x)= \sqrt{1-4 x^{2} }$ e $g( \alpha )=sen2 .\alpha$,encontre os valores de $\alpha$ para os quais $fog$ se anula Obs:$fog$ significa f composta com g.

Answer 1

.
Ola Tiago

f(x) = √(1 - 4x²)

g(x) = sen(2α)

f(g(x)) = √(1 - 4*sen(2x)) = 0

elevado ao quadrado

1 - 4*sen(2x) = 0

(1 - 2*sen(2x)*(1 + 2*sen(2x) = 0

1 - 2*sen(2x) = 0

2*sen(2x) = 1

sen(2x) = 1/2

x1 = π/12 + kπ
x2 = 5π/12 + kπ

(1 + 2*sen(2x) = 0

2*sen(2x) = -1

sen(2x) = -1/2

x3 = -π/12 + kπ
x4 = 7π712 + kπ

obs: * é sinal de multiplicação 

.

Answer 2

$f(x)=\sqrt{1-4x^{2}}\\ \\ g(\alpha)=\mathrm{sen}(2\alpha)$


Então,

$(f\circ g)(\alpha)=f(g(\alpha))\\ \\ (f\circ g)(\alpha)=\sqrt{1-4\,[g(\alpha)]^{2}}\\ \\ (f\circ g)(\alpha)=\sqrt{1-4\,[\mathrm{sen(2\alpha)}]^{2}}\\ \\ (f\circ g)(\alpha)=\sqrt{1-4\mathrm{\,sen^{2}(2\alpha)}}$


Resolver a equação:

$(f\circ g)(\alpha)=0\\ \\ \sqrt{1-4\mathrm{\,sen^{2}(2\alpha)}}=0$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$1-4\mathrm{\,sen^{2}(2\alpha)}=0\\ \\ 1=4\mathrm{\,sen^{2}(2\alpha)}\\ \\ \mathrm{sen^{2}}(2\alpha)=\dfrac{1}{4}\\ \\ \\ \mathrm{sen}(2\alpha)=\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\ \\ \\ \mathrm{sen}(2\alpha)=\pm \dfrac{1}{2}\\ \\ \\ \mathrm{sen}(2\alpha)=\pm \mathrm{\,sen}\left(\dfrac{\pi}{6} \right )$


Como o seno é uma função ímpar, o sinal $\pm$ pode "entrar no argumento da função", sem alterar a igualdade:

$\mathrm{sen}(2\alpha)=\mathrm{sen}\left(\pm\dfrac{\pi}{6} \right )$


Analisando o ciclo trigonométrico, vemos que os ângulos $(2\alpha)$ que satisfazem a igualdade acima são

$\begin{array}{rcl} 2\alpha=\pm\dfrac{\pi}{6}+k 2\pi&\;\text{ ou }\;&2\alpha=\pi \mp \dfrac{\pi}{6}+k 2\pi \end{array}$


Dividindo todos os membros por $2,$ chegamos a

$\begin{array}{rcl} \alpha=\pm\dfrac{\pi}{12}+k \pi&\;\text{ ou }\;&\alpha=\dfrac{\pi}{2} \mp \dfrac{\pi}{12}+k \pi \end{array}\\ \\ \\ \alpha=\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{\pi}{12}+k\pi&\text{ou}&\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\\ \\ &\text{ou}&\\ \\ -\dfrac{\pi}{12}+k\pi&\text{ou}&\dfrac{7\pi}{12}+k\pi \end{array} \right.$

onde $k$ é um inteiro.