Question

Para que o polinômio P(x) = x5 - 2x4 + kx3 - 3x2 + 6 seja divisível pelo binômio D(x) = - x + 1, o valor de k deve ser igual a:

Answer 1

-x + 1 = -(x - 1)

Então, podemos usar Briot-Ruffini, para o caso em que o divisor é x - a. Neste caso, a = 1

1          1          -2          k          -3          0          6
         
            1          -1     -1 + k     -4 + k    -4 + k    2 + k

Passe um traço horizontal abaixo da 1ª linha de números.
Passe um traço vertical à direita do 1º nº 1, que é o a.
O último resultado é o resto da divisão. Como queremos que o polinômio P(x) seja divisível por D(x), esse resto deve ser zero. Portanto,

2 + k = 0 ⇒ k = -2

Se você não entendeu, a 1ª linha depois do a, é formada pelos coeficientes do polinômio P(x). A 2ª linha é obtida assim:
-abaixa-se o 1º coeficiente que é 1;
-multiplica-se esse coeficiente pelo a, que é 1, e soma-se com o próximo coeficiente, que é -2 (1.1 + (-2) = 1 - 2 = -1) e coloca esse resultado embaixo do -2;
-segue assim até o fim: multiplica esse -1 pelo a que é 1 e soma com o próximo coeficiente que é k (-1.1 + k = -1 + k), e coloca esse resultado -1 + k abaixo do k;
-os outros cálculos são:
(-1 + k).1 + (-3) = -1 + k - 3 = -4 + k
(-4 + k).1 + 0 = -4 + k 
(-4 + k).1 + 6 = -4 + k + 6 = 2 + k