Question

Qual o 10º termo uma progressão aritmética de 40 termos onde o primeiro termo é igual a 0 e a soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 780. Escolha uma opção: a. 19 b. 20 c. 39 d. 9 e. 10

Answer 1

Resposta:

a₁₀ = 9. (Alternativa D)

Explicação passo-a-passo:

Vamos organizar todas as informações primeiro:

O que queremos: a₁₀

Tipo de Progressão: Aritmética

Quantos termos: 40 (a₁, a₂, ... , a₄₀)

a₁ = 0.

S₄₀ = 780.

Ótimo, agora precisamos achar um jeito de encontrar esse 10º termo.

Podemos usar a expressão do Termo Geral de uma P.A.:

aₓ = a₁ + r.(x-1)

Porém, falta uma informação: r.

Então, precisamos encontrar esses dois. E como vamos encontrá-los?

Usando a informação que S₄₀ = 780.

A expressão pra soma de n termos de uma P.A. é a seguinte:

Sₙ = [(a₁ + aₙ) n] / 2

Como temos S₄₀, basta substituir n = 40 na expressão:

S₄₀ = [(a₁ + a₄₀) 40] / 2

S₄₀ = [(a₁ + a₄₀) 20]

Mas não sabemos o a₄₀. . . porém, podemos utilizar a expressão do termo geral e encontrar o a₄₀ em relação ao a₁:

a₄₀ = a₁ + r(40-1) ⇒ a₄₀ = a₁ + 39r

Substituindo o a₄₀ = a₁ + 39r em S₄₀ = [(a₁ + a₄₀) 20]:

S₄₀ = [(a₁ + a₁ + 39r) 20]

S₄₀ = [(2a₁ +39r) 20]

Como S₄₀ = 780 e a₁ = 0, temos que

780 = 39r . 20

780 = 780r

r = 1.

Agora, só a gente voltar na expressão aₓ = a₁ + r(x-1) e substituir o a₁ e o r:

aₓ = 0 + 1(x-1)

aₓ = x-1

Substituindo x = 10 para achar o 10º termo:

a₁₀ = 10-1

a₁₀ = 9. (Alternativa D)