Question

Usando a propriedade dos logaritmos, calcule:
log2 16raiz quadrada de 8

Answer 1

   
a) 

x = log₅ (125*625) ------ note que log (a*b) = log(a) + log(b). Logo: 

x = log₅ (125) + log₅ (625) ---- veja que 125 = 5³; e 625 = 5⁴. Assim: 

x = log₅ (5³) + log₅ (5⁴) ---- como os expoentes passam multiplicando, temos: 

x = 3*log₅ (5) + 4*log₅ (5) ------ como log₅ (5) = 1, então ficaremos: 

x = 3*1 + 4*1 
x = 3 + 4 
x = 7 <---- Esta é a resposta para a questão do item "a". 


b) 

x = log₂ (16*√8) ----- como log(a*b) = log(a) + log(b), então ficaremos: 

x = log₂ (16) + log₂ (√8) ----- veja que √8 = 8¹/². Assim: 
x = log₂ (16) + log₂ (8¹/²) --- note que 16 = 2⁴; e 8 = 2³. Assim: 
x = log₂ (2⁴) + log₂ (2³)¹/² 
x = log₂ (2⁴) + log₂ (2³/²) ----- passando os expoentes multiplicando, temos: 
x = 4*log₂ (2) + (3/2)*log₂ (2) ------ como log₂ (2) = 1, teremos: 
x = 4*1 + (3/2)*1 --- ou apenas: 
x = 4 + 3/2 ------ mmc = 2. Assim, ficaremos com: 
x = (2*4 + 1*3)/2 
x = (8 + 3)/2 
x = (11)/2 
x = 11/2 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b". 


c) 

x = log₃ [81*√3 / (√3)³] ---- dividindo-se, no logaritmando, numerador e denominador por √3, ficaremos apenas com: 

x = log₃ [81*1/√3²] ----- ou apenas: 
x = log₃ [81/√3²]------ como √3² = √9 e √9 é igual a "3", teremos: 
x = log₃ (81/3) ---- veja que log (a/b) = log(a) - log(b). Assim: 
x = log₃ (81) - log₃ (3) ------ veja que 81 = 3⁴ . Assim: 
x = log₃ (3⁴) - log₃ (3) ---- passando o expoente multiplicando, teremos: 
x = 4*log₃ (3) - log₃ (3) ------ como log₃ (3) = 1, ficaremos com: 
x = 4*1 - 1 
x = 4 - 1 
x = 3 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c". 


d) 

x = LOG (1/32) ---- como log (a/b) = log(a) - log(b), ficaremos com: 
.......2√2 

x = LOG (1) - LOG (32) 
.......2√2...........2√2 

Agora veja: como log (1), em qualquer base, é igual a zero, então ficamos: 

x = 0 - LOG (32) --- ou apenas: 
............2√2 

x = - LOG (32) ----- veja que isto é a mesma coisa que: 
.........2√2 

x = -1*LOG (32) ------ passando o "-1" para expoente, teremos: 
...........2√2 

x = LOG(32⁻¹ ) ---- ou, o que é dá no mesmo: 
......2√2 

LOG (32⁻¹) = x ----- agora note que isto é a mesma coisa que: 
2√2 

(2√2)˟ = 32⁻¹ 

Veja que √2 = 2¹/². Assim, ficaremos com: 

(2*2¹/²)˟ = 32⁻¹ 

Note que 2*2¹/² = 2¹⁺¹/² = 2³/² . Assim, ficaremos com: 

(2³/²)˟ = 32⁻¹ ------ veja que 32 = 2⁵ . Assim: 
(2³/²)˟ = (2⁵)⁻¹ ----- desenvolvendo, ficaremos com: 
2³˟/² = 2⁻⁵ ------ como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo: 

3x/2 = - 5 ----- multiplicando em cruz, ficaremos com: 
3x = 2*(-5) 
3x = - 10 
x = - 10/3 <---- Esta é a resposta para a questão do item "d