Question

Calcule o valor da expressão 3^(2 + log3 4) + 10^(–log 2).

Answer 1

Note que temos uma expressão com potências onde os expoentes são logaritmos, assim vamos utilizar a propriedade* da potencia de expoente logarítmico  $\boxed{b^{\log_b a}=a}$ . Perceba que nesta propriedade a base da potência e a base do logaritmo (expoente) são iguais.

* Apesar de chamar de propriedade durante esta resolução, este resultado é, na verdade, uma consequência direta da definição de logaritmo não sendo considerado, portanto, como uma propriedade.

Ainda, para podermos "manipular" a expressão, utilizaremos algumas outras propriedades (mostradas abaixo).

$Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\log_b(a\cdot c)=\log_b a+\log_b c}\\\\\\Propriedade~do~Logaritmo~da~Pot\hat{e}ncia:~~\boxed{\log_ba^c=c\cdot\log_b a}$

Vamos então começar manipulando o expoente da primeira potência para que possamos posteriormente utilizar a propriedade da potência de expoente logarítmico.

$3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~3^{2\cdot1+\log_34}+10^{-\log2}\\\\\\Sabemos,~pela~de finicao,~que~\log_bb=1,~logo:\\\\\\3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~3^{2\cdot\log_33+\log_34}+10^{-\log2}\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~da~potencia\\\\\\3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~3^{\log_33^2+\log_34}+10^{-\log2}\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~do~produto\\\\\\3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~3^{\log_3(3^2\cdot4)}+10^{-\log2}\\\\\\3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~3^{\log_3(9\cdot4)}+10^{-\log2}$

$3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~3^{\log_3(36)}+10^{-\log2}$

Agora, podemos fazer o mesmo para a segunda potência da expressão.

Para isso, basta utilizarmos a propriedade do logaritmo da potência:

$3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~3^{\log_3(36)}+10^{\log2^{-1}}\\\\\\\boxed{3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~3^{\log_3(36)}+10^{\log\left(\frac{1}{2}\right)}}$

Aplicando a propriedade* da potência de expoente logarítmico, temos:

$3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~\backslash\!\!\!3^{\log_{\backslash\!\!\!3}(36)}+\backslash\!\!\!\!10^{\log_{\backslash\!\!\!\!10}\left(\frac{1}{2}\right)}\\\\\\3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~36+\dfrac{1}{2}\\\\\\3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~\dfrac{2\cdot36+1\cdot1}{2}\\\\\\3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~\dfrac{72+1}{2}\\\\\\\boxed{3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~\dfrac{73}{2}}~~~ou~~~\boxed{3^{2+\log_34}+10^{-\log2}~=~36,5}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$