Question

Dados os pontos A (2,1) e B (3,2) e o raio r=7. determine a equação reduzida da circuferência.
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Answer 1

Equação reduzida da circunferência :

$(\text x_\text c -\text x)^2+(\text y_\text c -\text y)^2 = \text R^2$

sendo :

$\text x_\text c , \text y_\text c$ = coordenadas do centro

$\text R =$ raio.

Queremos a equação reduzida da circunferência e Temos :

A (2,1) e B (3,2) e R = 7

Substituindo na equação da circunferência e achando as coordenadas do centro :

1ª $(\text x_\text c -2)^2+(\text y_\text c -1)^2 = 49 \to \text x_\text c^2 + \text y_\text c^2 - 4\text x_\text c - 2\text y_\text c + 5 = 49$

2ª$(\text x_\text c -3)^2+(\text y_\text c -2)^2 = 49\to \text x_\text c^2 + \text y_\text c^2 - 6\text x_\text c - 4\text y_\text c + 13 = 49$

Subtraindo a 2ª da 1ª :

$-4\text x_\tex c -(-6\text x_\tex c) - 2\text y_\tex c -(-4\text y_\tex c ) + 5 - 13 = 0$

$-4\text x_\tex c +6\text x_\tex c - 2\text y_\tex c +4\text y_\tex c - 8 =0$

$2\text x_\tex c +2\text y_\tex c = 8$

$\text x_\tex c + \text y_\tex c = 4$

$\text y_\tex c = 4 - \text x_\tex c$

substituindo na 1ª equação reduzida :

$(\text x_\text c -2)^2+(4-\text x_\text c -1)^2 = 49$

$(\text x_\text c -2)^2+(3-\text x_\text c )^2 = 49$

$\text x_\text c^2-4\text x_\text c + 4+ 9 - 6\text x_\text c+ \text x_\text c^2 = 49$

$2\text x_\text c^2-10\text x_\text c - 36= 0$

$\text x_\text c^2-5\text x_\text c - 18= 0$

$\displaystyle \text x_\text c = \frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4.(-18)}}{2}$

$\displaystyle \text x_\text c = \frac{5\pm\sqrt{25+72}}{2}$

$\displaystyle \boxed{\text x_\text c = \frac{5+\sqrt{97}}{2}}$

achando o y do centro :

$\text y_\text c = 4- \text x_\text c$

$\displaystyle \text y_\text c = 4- \frac{(5+\sqrt{97)}}{2}$

$\displaystyle \text y_\text c = \frac{8-5-\sqrt{97}}{2}$

$\boxed{\displaystyle \text y_\text c = \frac{3-\sqrt{97}}{2}}$

(obs : se quiser fazer o teste é só substituir em uma das equação da reduzidas e achar 49 )

Portanto a equação reduzida da circunferência é :

$\huge\boxed{\displaystyle (\text x -\frac{(5+\sqrt{97})}{2} ) ^2 +(\text y - \frac{(3-\sqrt{97})}{2} )^2 = 49 } \checkmark$