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Resposta:
Explicação passo-a-passo:
É possível calcular a área de um triângulo somente a partir de um ângulo e os 2 lados que formam esse ângulo:
A = (a . b . senθ)/2
Usando essa fórmula no ângulo de 120° :
A = [x . (x+1) . sen120°]/2
Só que a gente não sabe qual o valor de x. Para isso, a gente vai usar a Lei dos Cossenos:
a² = b² + c² - 2 . b . c . cosθ, onde θ é um ângulo do triângulo, a é o lado oposto a esse triângulo, e b e c são os 2 lados restantes do triângulo. Sendo assim, usando o ângulo de 120°:
a = x+2 (lado oposto a 120°)
b = x+1
c = x
θ = 120°
Substituindo na fórmula:
(x+2)² = (x+1)² + x² - 2 . (x+1) . x . cos120°
x² +4x +4 = x² + 2x + 1 + x² - 2(x²+x) . cos120°
A partir da circunferência trigonométrica, temos que
cos120° = -cos60° = -1/2
Substituindo:
x² + 4x + 4 = 2x² + 2x + 1 -2 (x²+x) . (-1/2)
No final das contas, -2 vai cancelar com -1/2, sobrando 1:
x² + 4x + 4 = 2x² + 2x + 1 + 1. (x²+x)
x² + 4x + 4 = 2x² + 2x + 1 + x² + x
x² + 4x + 4 = 3x² + 3x + 1
Passando tudo para o mesmo lado (Esquerda passa para direita negativo):
3x² - x² +3x - 4x + 1 - 4 = 0
2x² -x -3 = 0
Usando Bháskara, temos que
x = (1 ± √1 +24)/4
x = (1 ± 5)/4
x₁ = 1+5/4 = 6/4 = 3/2
x₂ = 1-5/4 = -4/4 = -1
Como x é um dos lados do triângulo, x não pode ser menor que zero. Então desconsideramos x = -1.
Logo: x = 3/2.
Substituindo na primeira expressão que nós formulamos:
A = [x . (x+1) . sen120°]/2
A = [3/2 . (3/2 + 1) . sen120°] /2
A partir da circunferência trigonométrica, temos que
sen120° = sen60° = √3/2
Assim, substituindo:
A = [3/2 . (5/2) . √3/2] / 2
A = [15√3/8] /2 ⇒ A = (15√3)/16.