Question

Considere as integrais abaixo e determine a solução resolvendo-as por partes:
A) ∫ x sen x/2 dx
B) ∫ x^2 e^x dx

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas integrais, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

a) $\displaystyle{\int x\cdot\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dx}$

Lembre-se que a técnica de integração por partes consiste na seguinte fórmula: $\displaystyle{\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du}$.

Como critério de escolha para a variável $u$, utilizamos a propriedade LIATE, em que priorizamos a escolha de funções Logaritmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Assim, escolhemos $u=x$ e $dv=\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dx$.

Diferenciamos a expressão em $u$ e integramos o diferencial $dv$, em respeito à variável $x$:

$u'=x'\\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int \sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dx}$

Lembre-se que a derivada de uma potência é calculada por $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ e a derivada de uma função $u=u(x)$ é implícita.

A integral será calculada utilizando a técnica de substituição. Fazendo $t=\dfrac{x}{2}$, diferenciamos ambos os lados em respeito $x$, de forma a obtermos $dx = 2\,dt$.

Assim, teremos:

$\dfrac{du}{dx}=1\\\\\\ \displaystyle{\int dv = \int \sin(t)\cdot 2\,dt}$

Multiplique ambos os lados da primeira equação pelo diferencial $dx$. Na segunda equação, aplique o Teorema fundamental do Cálculo e calcule a integral da função seno: $\displaystyle{\int 2\sin(t)\,dt=-2\cos(t)}$

$du=dx\\\\\\ v=-2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Então, substituindo estes elementos na fórmula de integração por partes, teremos:

$\displaystyle{x\cdot\left(-2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)-\int-2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot dx}$

Faça novamente uma substituição $t=\dfrac{x}{2}$ e calcule a integral da função cosseno: $\displaystyle{\int-4\cos(t)\,dt=-4\sin(t)}$

$-2x\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)+4\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)+C,~C\in\mathbb{R}$

b) $\displaystyle{\int x^2\cdot e^x\,dx}$

Da mesma forma, de acordo com a propriedade LIATE, teremos: $u=x^2$ e $dv=e^x\,dx$.

Assim, calculamos o diferencial $du$ e a variável $v$:

$u'=(x^2)'\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int e^x\,dx}$

Aplique a regra da potência e calcule a integral da função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x}$

$du=2x\,dx\\\\\\ v=e^x$

Substitua os elementos na fórmula

$\displaystyle{x^2\cdot e^x-\int e^x\cdot 2x\,dx}$

Calcule novamente a integral por partes: $u=2x$ e $dv=e^x\,dx$

$u'=(2x)'\Rightarrow du = 2\,dx\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int e^x\,dx}\Rightarrow v=e^x$

$\displaystyle{x^2e^x-\left(2xe^x-\int e^x\cdot 2\,dx\right)}$

Calcule a integral e efetue a propriedade distributiva da multiplicação. Some a constante de integração ao final.

$x^2e^x-2xe^x+2e^x+C,~C\in\mathbb{R}$

Estes são os resultados destas integrais.