Question

Usando a sentença matemática y=(x+1)/2 que foi descrita no início desse capítulo caulcule : a) a soma y dos 1000 primeiros números inteiros positivos : b) número inteiro positivo para que a soma y seja igual a 66

Answer 1

Resposta:

a) 500 500

b) É o número 11.

Juntando os 11 primeiros números inteiros positivos. Sua soma dá 66.

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Usando a sentença matemática y = ( x + 1 )/2  (*) que foi descrita no início desse capítulo calcule :

a) "a soma y" dos 1000 primeiros números inteiros positivos :

b) número inteiro positivo para que "a soma y" seja igual a 66.

(*) devia estar y = ( x * ( x+ 1) ) / 2

Resolução:

a) a soma "y" dos 1000 primeiros números inteiros positivos :

Tal como reza a história sobre a meninice do matemático Carl Gauss

vamos montar o seguinte procedimento:

Colocar numa linha os números inteiros positivos de 1 a 1000

Calma. Só vou dizer como fica. Não faço todos.

Noutra linha, por baixo vou colocar os inteiros positivos de 1 a 1000, só uma pequena diferença. Agora começo no 1000 e termino no 1.

Vejamos as linhas e colunas alinhadas:

  1          2       3        4   ---------------------------------------------998   999    1000

1000    999   998   997----------------------------------------------  3       2          1

Dá para entender?

Agora soma-se cada coluna.

1001    1001     1001     1001 ------------------------------------------1001   1001   1001

Tenho portanto 1000 parcelas iguais a 1001 cada.

1000*1001 = 1 001 000  é este o valor que obtenho.

Alto lá!

Eu só queria somar os primeiros mil números inteiros positivos.

Eu fiz isso duas vezes !

Não há problema algum !

Basta dividir 1 001 000 por 2 = 500 500

Cá está.

A soma dos primeiros mil números inteiros positivos é 500 500.

b) número inteiro positivo para que a soma "y" seja igual a 66.

Agora é ao contrário ; dão-nos o total da soma e pedem quantos os "x" primeiros números inteiro positivos adicionados dão 66.

Primeiro vou recordar resumidamente o que se fez na alínea a)

Tinha 1000 números

A 1000 somei 1.

Ao resultado 1001 multipliquei pela quantidade de números a somar , 1000.

Depois dividi por dois.

Dá o resultado final. Na hora.

Em expressão algébrica.

( 1000 * 1001 ) / 2 = 500 500

Agora  vai ficar:

x =  a quantidade dos primeiros números inteiros positivos cuja soma dá 66

$\frac{x*(x+1)}{2} = 66$

Faço com que 66 se transforme numa fração de denominador 2 .

É     $\frac{132}{2}$

$\frac{x*(x+1)}{2} = \frac{132}{2}$

Agora que tenho os denominadores iguais vou retirá-los.

E com a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

x * x + x * 1 = 132

Passo tudo para o primeiro membro, trocando sinal quando muda de membro.

x² + x - 132 = 0

Fórmula de Bhaskara  

x = ( - b ± √Δ ) /2a

a =  1

b =  1

c = - 132  

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = 1² - 4 * 1 * ( - 132 ) = 1 + 528 = 529

√Δ = √529 = 23

x' = ( - 1 + 23 ) / 2*1

x' = 22 /2

x' = 11

x'' = ( - 1 - 23 ) / 2*1

x'' = - 24 / 2

x'' = - 12

Esta solução não faz sentido pois queremos contar "x" primeiros números inteiros positivos.

Ficando com o valor 11 , quer dizer que a adição de 1 até 11 dá 66.

Verifiquemos:

1 + 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11

= ( 1 + 2 + 3+ 4 ) + ( 5 + 6 + 7 )  +( 8 + 9 ) + ( 10 + 11 )

= 10 + 18 + 17 + 21

= 28 + 38

= 66    Já está.  

Este excelente matemático  Carl Gauss era mesmo muito inteligente e versátil.

A história diz que quando jovem Gauss frequentava a escola a turma era irrequieta.

Para arranjar um bom bocado de sossego o professor ordenou que fizessem a soma dos cem primeiros números inteiros e positivos.

Passado muito pouco tempo jovem Gauss entrega resultado ao professor.

E fez da maneira indicada em a)

Professor verificou e estava correto. Claro !

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir  

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.