Question

6) (PUC-RJ) A equação tgx =cosx tem, para x no intervalo (0,π/2)
uma raíz x= a sobre a qual podemos dizer:

a) a= π/4

b) Sen a= ✓2/2

c) Sen a= (-1+✓5)/2

d) cos a= 1/2

e) a= π/3​

Answer 1

Resposta:

Alternativa c)

Explicação passo-a-passo:

tgx=cosx

Da fórmula: tgx=senx/cosx

senx/cosx=cosx

senx=cos²x

Lei Fundamental da Trigonometria: sen²x+cos²x=1 => cos²x=1-sen²x

senx=1-sen²x

sen²x+senx-1=0

Adotando: senx =y

y²+y-1=0

$\displaystyle Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~y^{2}+y-1=0~~\\e~comparando~com~(a)y^{2}+(b)y+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=1~e~c=-1\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(1)^{2}-4(1)(-1)=1-(-4)=5\\\\y^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(1)-\sqrt{5}}{2(1)}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\\\y^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(1)+\sqrt{5}}{2(1)}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\\\\S=\{-\frac{1+\sqrt{5}}{2}},~\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\}$

Para y=senx= -(1+√5)/2 => descartar essa solução porque x∈(0, π/2) logo o senx≥0

Para y=senx= (-1+√5)/2 => essa solução é viável porque x∈(0, π/2) logo o senx≥0

Do enunciado x=a

sena=(-1+√5)/2