Question

A distância entre duas circunferências C₁ e C₂ é definida como a menor distância entre os pontos de C₁ e os pontos de C₂ , isto é, se X é um ponto em C₁ , Y é um ponto em C₂ e d(X,Y) é a distância entre X e Y, então a distância entre C₁ e C₂ é o menor valor que d(X,Y) pode assumir.
Assim, qual distância entre as circunferências x² + y² – 4y + 3 = 0 e x² + y² – 4x + 3 = 0?

Answer 1

Resposta:

$d(X,Y)=2(\sqrt{2}-1)\;u.c$

Explicação passo-a-passo:

Vamos inicialmente desenvolver as equações das circunferências a fim de determinar seus raios e centros. Sendo $\lambda:x^2+y^2-4y+3=0$ a equação da 1º circunferência, podemos dizer que $y^2-4y=(y-2)^2-4$. Substituindo:

$\lambda:x^2+(y-2)^2-4+3=0$

$\lambda:x^2+(y-2)^2=1$

Vamos agora para a circunferência $\gamma:x^2+y^2-4x+3=0$. Sendo $x^2-4x=(x-2)^2-4$, ficamos com:

$\gamma:(x-2)^2+y^2-4+3=0$

$\gamma:(x-2)^2+y^2=1$

Sabe-se que uma circunferência de centro $C(x_0,y_0)$ e raio $R$ possui como equação $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$. Com isso podemos concluir que $\lambda$ possui como centro o ponto $(0,2)$ e $\gamma$ possui o ponto $(2,0)$, ambas possuindo raio igual a 1.

Com isso já podemos calcular a distância $d$ entre os centros das circunferências:

$d=\sqrt{(0-2)^2+(2-0)^2}$

$d=\sqrt{4+4}$

$d=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\;u.c$

Como queremos a distância entre as circunferências e não a distância entre os seus centros, devemos subtrair de $d$ a medida do raio de ambas. Dessa forma, concluímos que a distância $d(X,Y)$ entre as circunferências é igual a:

$d(X,Y)=d-1-1$

$d(X,Y)=2\sqrt{2}-2$

$d(X,Y)=2(\sqrt{2}-1)\;u.c$