Um robô militar foi projetado para patrulhar uma área florestal. Ele começa em certo ponto e sempre anda em linha reta durante 2 km, depois rotaciona, mudando sua direção em um ângulo de xº em relação à trajetória anterior, anda novamente durante 2 km e muda a direção novamente em xº. Ele prossegue dessa maneira até finalmente voltar ao ponto de origem.
Sabendo que, em cada volta, o robô percorre exatamente um perímetro de 20 km, a área, em km², que o robô circunda é igual a:
A) 10,4
B) 18, 0
C) 24,0
D) 26,5
E) 30,0
#[Simulado ENEM 2020 - Brainly]
Respostas
A alternativa correta é a letra E.
Observe que o caminho será um polígono regular, pois terá todos os lados iguais com ângulos externos também iguais no valor de xº.
Como cada lado mede 2km, e o perímetro de uma volta é de 20 km, trata-se de um decágono:
20km ÷ 2km = 10 lados
O ângulo externo de um decágono pode ser obtido fazendo
xº = 360º ÷ 10 = 36º
E cada ângulo interno é, portanto,
180º - 36º = 144º
Para calcular o valor da área, considere o particionamento do decágono em 10 triângulos isósceles, cujo lado da base é 2 km, com ângulo Ô = 36º (360/10).
Separando um desses triângulos (AOB), como na imagem abaixo, temos que, ao traçar a altura OH, obtemos um ângulo de  = 72º e AÔH = 18º.
Como o triângulo é isósceles, a altura é mediana, portanto forma-se um triângulo retângulo AOH, em que AH = 1 km.
Usando tan (72º) = OH/AH, temos que 3 = OH/1km e, portanto, a altura OH é de 3 km.
Assim, a área do triângulo AOB é : ½ × 2 km × 3 km = 3 km²
Como são 10 triângulos como esse, temos uma área total de :
3 × 10 = 30 km².
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Resposta:
Alternativa E)30,0
Explicação passo-a-passo: