Question

Cálculo 2. Alguém poderia ajudar?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, determinamos em que valor de t queremos calcular a curvatura. Como o ponto é (4,3,4), o valor de t correspondente será:

< 4t, 3t², 4t³ > = (4, 3, 4)  =>  Por inspeção, temos que t = 1.

Em seguida, definimos:

$r'(t) = \frac{dr(t)}{dt} \\ ||x(t)|| = \sqrt{(x_1(t))^2 + (x_2(t))^2 + (x_3(t))^2}$

Como r(t) = <4t, 3t², 4t³>, temos que r'(t) = <4, 6t, 12t²>

Assim, $||r'(t)|| = \sqrt{16 + 36t^2 + 144t^4}$

Como estamos interessados em t = 1, $||r'(1)|| = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$

Então, definimos   $T(t) = \frac{r'(t)}{||r'(1)||} = < \frac{2}{7}, \frac{3t}{7}, \frac{6t^2}{7} >$

E T'(t) = < 0, 3/7, 12t/7 >

Por fim, a curvatura (K) da curva r(t) no ponto (4,3,4) será:

$K = ||T'(1)|| = \sqrt{0^2 + (\frac{3}{7})^2 + (\frac{12}{7})^2} = \sqrt{\frac{153}{49} } \\\\K = \frac{3}{7} \sqrt{17}$