Question

Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas usando a forma canônica:
a) f(x) = x² -x - 2
b) f(x) = 3x² +x -2
c) f(x) = x² -2x +1

Answer 1

Para encontrar a forma canônica da função quadrática

$f(x)=ax^{2}+bx+c\;\;\;\;(a \neq 0)$

basta reescrevê-la como

$f(x)=a\,(x-h)^{2}+k$


Esse processo envolve o completamento de quadrados.


a) $f(x)=x^{2}-x-2$


Para completar o quadrado no lado direito, adicionamos e subtraímos $\frac{1}{4}:$

$f(x)=x^{2}-x+\mathbf{\frac{1}{4}}-\mathbf{\frac{1}{4}}-2\\ \\ f(x)=x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{-1-8}{4}\\ \\ f(x)=(x^{2}-x+\frac{1}{4})-\frac{9}{4}$


Agrupando o quadrado perfeito, temos

$f(x)=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{9}{4}\;\;\;\rightarrow\;\text{(forma can\^{o}nica)}$


Para encontrar os zeros,

$f(x)=0\\ \\ (x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{9}{4}=0\\ \\ (x-\frac{1}{2})^{2}=\frac{9}{4}\\ \\ x-\frac{1}{2}=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}\\ \\ x-\frac{1}{2}=\pm\frac{3}{2}\\ \\ x=\pm\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\\ \\ \begin{array}{rcl} x=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\\ \\ x=\frac{-3+1}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\frac{3+1}{2}\\ \\ x=\frac{-2}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\frac{4}{2}\\ \\ x=-1&\;\text{ ou }\;&x=2 \end{array}$


b) $f(x)=3x^{2}+x-2$


Dividindo os dois lados por $3,$

$\frac{f(x)}{3}=x^{2}+\frac{1}{3}\,x-\frac{2}{3}$


Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos $\frac{1}{36}:$

$\frac{f(x)}{3}=x^{2}+\frac{1}{3}\,x+\mathbf{\frac{1}{36}}-\mathbf{\frac{1}{36}}-\frac{2}{3}\\ \\ \frac{f(x)}{3}=x^{2}+\frac{1}{3}\,x+\frac{1}{36}+\frac{-1-24}{36}\\ \\ \frac{f(x)}{3}=(x^{2}+\frac{1}{3}\,x+\frac{1}{36})-\frac{25}{36}$


Agrupando o quadrado perfeito,

$\frac{f(x)}{3}=(x+\frac{1}{6})^{2}-\frac{25}{36}$


Multiplicando os dois lados por $3,$

$f(x)=[(x+\frac{1}{6})^{2}-\frac{25}{36}]\\ \\ f(x)=3\,(x+\frac{1}{6})^{2}-\frac{25}{12}\;\;\;\rightarrow\;\text{(forma can\^{o}nica)}$


Encontrando os zeros,

$f(x)=0\\ \\ 3\,(x+\frac{1}{6})^{2}-\frac{25}{12}=0\\ \\ 3\,(x+\frac{1}{6})^{2}=\frac{25}{12}\\ \\ (x+\frac{1}{6})^{2}=\frac{25}{36}\\ \\ x+\frac{1}{6}=\pm\sqrt{\frac{25}{36}}\\ \\ x+\frac{1}{6}=\pm \frac{5}{6}\\ \\ x=\pm \frac{5}{6}-\frac{1}{6}\\ \\ \begin{array}{rcl} x=-\frac{5}{6}-\frac{1}{6}&\;\text{ ou }\;&x=\frac{5}{6}-\frac{1}{6}\\ \\ x=\frac{-5-1}{6}&\;\text{ ou }\;&x=\frac{5-1}{6}\\ \\ x=\frac{-6}{6}&\;\text{ ou }\;&x=\frac{4}{6}\\ \\ x=\frac{-6}{6}&\;\text{ ou }\;&x=\frac{4}{6}\\ \\ x=-1&\;\text{ ou }\;&x=\frac{2}{3}\\ \\ \end{array}$


c) $f(x)=x^{2}-2x+1$


O lado direito já é um quadrado perfeito. Podemos reescrever a igualdade acima como

$f(x)=(x-1)^{2}\;\;\;\rightarrow\;\text{(forma can\^{o}nica)}$


Encontrando os zeros,

$f(x)=0\\ \\ (x-1)^{2}=0\\ \\ x-1=0\\ \\ x=1$


A raiz nesse caso é única.