Question

(MAT_EM04_LD_28_8) (UEPB) A solução da inequação logarítmica log1/2x + log1/2(x-2) > -3 é

A



B



C



D



E

Answer 1

Resposta:

$2<x<4$

Explicação passo-a-passo:

Como o logaritmando deve ser positivo, temos que $x>0$ e $x-2>0$, logo $x>2$. Por propriedade dos logaritmos, $\log_ba+\log_bc=\log_b(a\cdot c)$, logo:

$\log_{1/2}x+\log_{1/2}(x-2)>-3$

$\log_{1/2}[x(x-2)]>-3$

Outra propriedade logarítmica diz que $\log_{b^c}a=\frac{1}{c}\log_ba$, logo $\log_{1/2}[x(x-2)]=\log_{2^{-1}}[x(x-2)]=-\log_{2}[x(x-2)]$. Uma desigualdade do tipo $\log_ba<k$, onde $k$ é um número real e $a>1$, é válida somente se $a<b^k$. Sendo a base do logaritmo maior que 1, temos então que:

$-\log_2[x(x-2)]>-3\;(\times-1)$

$\log_2[x(x-2)]<3$

$x(x-2)<2^3$

$x^2-2x-8<0$

Vamos calcular as raízes do polinômio à esquerda da inequação:

$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot(-8)}}{2}$

$x=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2}$

$x=\frac{2\pm 6}{2}$

$x\in\{-2,4\}$

Pelo fato do polinômio caracterizar uma parábola de concavidade voltada para cima, temos que $x<0$ no intervalo (-2,4). Como $x$ também deve ser maior que 2, concluímos que $2<x<4$.