Question

Simplifique (x+3)! + (x+2)!=8(x+1)! E encontre as raizes da equação formada.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta equação, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a equação:

$(x+3)!+(x+2)!=8\cdot(x+1)!$

Lembre-se que $n!$ pode ser reescrito como $n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1!$

Assim, podemos reescrever a equação da seguinte forma:

$(x+3)\cdot(x+2)\cdot(x+1)!+(x+2)\cdot(x+1)!=8\cdot(x+1)!$

Divida ambos os lados da equação por $(x+1)!$, sabendo que $n!>0,\forall{n}\in\mathbb{N}$

$(x+3)\cdot(x+2)+x+2=8$

Subtraia $8$ em ambos os lados da equação e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$x^2+2x+3x+6+x+2-8=0\\\\\\ x^2+6x=0$

Fatore a expressão

$x\cdot(x+6)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores seja igual a zero.

Assim, teremos:

$x=0~~~\mathbf{ou}~~~x+6=0$

Subtraia $6$ em ambos os lados da segunda equação

$x=0~~~\mathbf{ou}~~~x=-6$

Porém, observe que a condição para $n\in\mathbb{N}$ ser respeitada, é necessário que $x+1>0$, logo $x>-1$

Dessa forma, o conjunto solução desta equação é:

$\boxed{\bold{S=\{x\in\mathbb{N}~|~x=0\}}}$