Question

Mostre que, para todo m > 0, a equação √x + m = x tem exatamente uma raiz.

Answer 1

Vamos desenvolver a equação:

$\sqrt{x}+m=x$

$\sqrt{x}=x-m$

Como $\sqrt{x}\geq 0$, temos que $x-m\geq 0\therefore x\geq m$. Vamos manter essa relação guardada. Continuando:

$(\sqrt{x})^2=(x-m)^2$

$x=x^2-2mx+m^2$

$x^2-2mx-x+m^2=0$

$x^2+(-2m-1)x+m^2=0$

$x=\frac{-(-2m-1)\pm\sqrt{(-2m-1)^2-4\cdot m^2}}{2}$

$x=\frac{2m+1\pm\sqrt{4m^2+4m+1-4m^2}}{2}$

$x=\frac{2m+1\pm\sqrt{4m+1}}{2}$

Lembrando que $x\geq m$, ficamos com:

$\frac{2m+1\pm\sqrt{4m+1}}{2}\geq m$

$2m+1\pm\sqrt{4m+1}\geq 2m$

$1\pm\sqrt{4m+1}\geq 0$

$\pm\sqrt{4m+1}\geq -1$

Sendo $m>0$, $\sqrt{4m+1}>1\therefore -\sqrt{4m+1}<-1$, entrando em contradição com a desigualdade acima. Com isso concluímos que a solução $x=\frac{2m+1-\sqrt{4m+1}}{2}$ é impossível. Em contrapartida, $\sqrt{4m+1}$ é aplicável, logo a única solução é $x=\frac{2m+1+\sqrt{4m+1}}{2}$.