Question

a) Só existem dois números reais que, elevados ao quadro,
multiplicados por 5, dessa resposta subtraído 1000, resulta em
0... Qual a diferença entre estes dois números?
b) Só existem dois números que, elevados ao quadrado,
multiplicados por 10, subtraído do seu quintuplo, resulta em 0. Qual a
soma destes dois números?​

Answer 1

Olá.

Em problemas assim, procure entender por partes.

Números elevados ao quadrado, e então multiplicados, subtraídos, somados, divididos.... resultarão em uma equação quadrática (equação de segundo grau). Sendo assim, seu resultado será duas raízes. Justamente o que os problemas sugerem: "só existem dois números que..." Então podemos começar pensando em apenas um número, em vez de dois. Ok? E ele nos trará no final da resposta dois números diferentes.

Pensemos pois em um número x qualquer....

a)

número qualquer: x

número elevado ao quadrado: x²

esse número elevado ao quadrado e multiplicado por 5: 5x²

dessa resposta, subraia 1000: 5x² - 1000

isso resulta em zero: 5x² - 1000 = 0

Está aí a equação.

Resolvamos.

$5x^{2} - 1000 = 0$

$5x^{2} = 1000$

$x^{2} = \frac{1000}{5}$

$x^{2}=200$

$\sqrt{x^{2}} =\sqrt{200} =\sqrt{2*10^{2}} =10\sqrt{2}$

$x'=+10\sqrt{2}$

$x"=-10\sqrt{2}$

Esses são os dois números, x' e x". A diferença entre um número e seu oposto é zero.

$x'-x"=$

$=10\sqrt{2} -10\sqrt{2}$

$=0$

Dica: experimente substituir esses números, um de cada vez, na equação, e ver se ela dá realmente zero. Isso é testar a resposta, para ver se conseguimos a resposta certa ou saber que temos que corrigir os cálculos. E isso é ótimo! Super ajuda.

$5x^{2} - 1000 = 0$

$5(10\sqrt{2})^{2} - 1000 = 0$

$5(10^{2}*(\sqrt{2})^{2}) - 1000 = 0$

$5(100*(\sqrt{2}^{2})) - 1000 = 0$

$5(100*2) - 1000 = 0$

$5(200) - 1000 = 0$

$1000-1000=0$

$0=0$

Passo a passo fica um pouco longo, mas é melhor para não ter dúvidas. O outro número é a mesma coisa, só que negativo. Vamos simplificar as contas, já que ja´ foi explicado acima. Para quem já entende as contas são mais rápidas.

$5x^{2} - 1000 = 0$

$5(-10\sqrt{2})^{2} - 1000 = 0$

$5(+100*2) - 1000 = 0$

$1000-1000=0$

$0=0$

A equação continuou verdadeira para os dois valores encontrados (tem que ser para ambos!) Então podemos confiar que a resolução está correta!

b)

número qualquer: y

número qualquer elevado ao quadrado: y²

número elevado ao quadrado e multiplicado por 10: 10y²

(o mesmo) número qualquer: y

o quíntuplo desse número qualquer: 5y  (quíntuplo é 5 vezes o número)

o número, elevado ao quadrado, multiplicado por 10, subtraído do seu quíntuplo, resulta em zero: 10y² -5y = 0

Já temos a equação. Agora é resolvê-la. Podemos usar Báskara, ou fatorar...

$10y^{2}-5y=0$

$5y(2y-1)=0$

Se essa multiplicação dá zero, então, pelo menos, ou 5y é igual a zero, ou 2y-1 é igual a zero.

$5y=0$

$y=\frac{0}{5}$

$y'=0$

$2y-1=0$

$2y=1$

$y"=\frac{1}{2}$

Pronto, temos os dois números, y' e y". Somados eles dão um meio.

$y'+y"=$

$=0+\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}$

Dica: substitua os dois números na equação... verique se ela continua igual a zero com um número, e com o outro número. Na hora da prova, esse recurso te salva a nota. Teine na nota dos exercícios para saber como usá-lo.