Question

determine o valor de a em A={x ∈ R | x≤ a} para que a função f de A em R ,definida por f(x)=2x²-3x+4 ,seja injetora

Answer 1

$f(x)=2 x^{2} -3x+4$

É uma função do 2º grau cujo o gráfico é uma parábola, logo será uma função bijetora, pois terá 2 contra domínio para um domínio. Para a função ser injetora você precisa achar o vértice para que o gráfico forme apenas metade da parábola e assim tenha apenas um y correspondente para cada x.

Xv = -b/2a  
Xv= - (-3) / 2(2)
Xv= 3/4

X pertence aos reais, tal que x maior ou igual a 3/4
x E R / x<= 3/4

Isso da metade da parábola, que resulta em uma função injetora. 

Answer 2

Para que a função seja injetora, ela deve ser

estritamente crescente ou estritamente decrescente

em todo o seu domínio.


Sejam $a,\;b$ elementos do domínio de $f.$ Devemos garantir apenas uma das duas condições abaixo, para todo $a,\; b\in \mathrm{D}(f):$


$\bullet\;\;$Se $a>b$, então $f(a)>f(b)$, ou

$\bullet\;\;$ Se $a>b$, então $f(a)<f(b).$


Então vamos encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função:


Colocando a equação de $f$ na forma canônica:

$f(x)=2x^{2}-3x+4\\ \\ \frac{f(x)}{2}=x^{2}-\frac{3}{2}\,x+2$


Somando e subtraindo $\frac{9}{16}$ para completar o quadrado no lado direito, temos

$\frac{f(x)}{2}=x^{2}-\frac{3}{2}\,x+\mathbf{\frac{9}{16}}-\mathbf{\frac{9}{16}}+2\\ \\ \frac{f(x)}{2}=x^{2}-\frac{3}{2}\,x+\frac{9}{16}+\frac{-9+32}{16}\\ \\ \frac{f(x)}{2}=(x-\frac{3}{4}\,x+\frac{9}{16})+\frac{23}{16} \\ \\ \frac{f(x)}{2}=(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{23}{16}\\ \\ f(x)=2\,(x-\frac{3}{4})^{2}+\frac{23}{8}$


Analisando a forma canônica acima, vemos que função $f$ assume seu valor mínimo quando

$x=\frac{3}{4}$


E temos que

$\bullet\;\;$ Para $x\leq \frac{3}{4},$ $f$ é estritamente decrescente.

$\bullet\;\;$ Para $x \geq \frac{3}{4},$ $f$ é estritamente crescente.


Como queremos encontrar um valor de $a,$ tal que

$f$ é estritamente crescente (ou estritamente decrescente) para todo $x \leq a,$


Analisando rapidamente, vemos que se aplica a primeira situação neste caso:

$\bullet\;\;$ Para $x\leq \frac{3}{4},$ a função é estritamente decrescente.


Logo, para todo $a\leq \frac{3}{4},$

o domínio de $f$ passa a ser o conjunto

$A=\{x \in \mathbb{R}\left|\,x \leq a \leq \frac{3}{4}\right.\}$


e assim garantimos que $f$ é injetora.


Resposta: $a \leq \frac{3}{4}$