Question

Sei que a resposta dessa questão é letra (e), no entanto, não entendi o processo pra chegar nessa resposta. ​
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Answer 1

Vamos inicialmente calcular a equação de $f(x)$. Sendo uma reta, temos que:

$\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$

$\frac{0-1}{3-0}=\frac{f(x)-0}{x-3}$

$-\frac{1}{3}=\frac{f(x)-0}{x-3}$

$f(x)=-\frac{1}{3}(x-3)$

Temos então que a função $y=x\cdot f(x)=-\frac{x}{3}(x-3)$. Para achar suas raízes, vamos igualá-la a 0:

$y=0$

$-\frac{x}{3}(x-3)=0$

$x(x-3)=0$

Daí tiramos que as soluções são $x=0$ e $x-3=0\therefore x=3$. Desenvolvendo a equação, achamos que $y=-\frac{1}{3}\,x^2+x$. Sendo uma função quadrática em que o coeficiente do termo de maior grau é negativo, o gráfico dessa função é uma parábola de concavidade voltada para baixo.

A única parábola de concavidade voltada para baixo e com raízes 0 e 3 é a da alternativa e).

Answer 2

Resposta: e)

Explicação passo-a-passo:

De acordo com o gráfico dado por "y = f(x)" no enunciado, temos os seguintes dados:

Ponto A = (3 , 0) onde x=3 e y=0

Ponto B = (0 , 1) onde x=0 e y=1

Toda reta é dada pela seguinte equação:

y = ax + b

onde y = f(x)

Dito isso, devemos começar calculando o valor dos termos "a" chamado de coeficiente angular e o do termo "b" chamado de coeficiente linear.

Calculando o coeficiente angular "a" considerando os pontos A e B:

a = (yB – yA) / (xB – xA)

a = (1 – 0) / (0 – 3)

a = 1 / -3

a = -1/3

Agora calculamos o valor do coeficiente linear "b" considerando a= -1/3 e o ponto A(3 , 0) onde x=3 e y=0 :

y = ax + b

0 = -1/3•3 + b

0 = -3/3 + b

0 = -1 + b

1 = b

b = 1

Montando a equação da reta, temos:

y = ax + b

y = (-1/3)•x + 1

y = -x/3 + 1

Agora, como o enunciado quer o gráfico da equação "y=x•f(x)" e sabendo que y=f(x), temos então que:

y = x • f(x)

y = x • (-x/3 + 1)

y = -x²/3 + x

Veja que temos agora uma função do 2° grau ou função quadrática.

Numa função quadrática "f(x) = ax² + bx + c" , se a<0 (lê-se "a" menor que zero), então o gráfico é uma parábola com a CONCAVIDADE voltada PARA BAIXO.

Para sabermos qual o gráfico relaciona-se com a alternativa correta, devemos calcular as raízes ou os zeros da função quadrática através do Delta (Δ):

y = -x²/3 + x

a = -1/3

b = 1

c = 0

Δ = b² - 4•a•c

Δ = 1² - 4•(-1/3)•0

Δ = 1 + 0

Δ = 1

Obs: se ∆ > 0, a parábola intercepta o eixo "x" (horizontal) em dois pontos diferentes (x’ e x”):

E para calcularmos x' e x" temos as seguintes fórmulas:

x' = (-b + √Δ)/2•a

x' = (-1 + √1)/2•(-1/3)

x' = (-1 + 1)/ -2/3

x' = 0 / -2/3

x' = 0

x" = (-b - √Δ)/2•a

x" = (-1 - √1)/2•(-1/3)

x" = (-1 - 1)/ -2/3

x" = -2 / -2/3

x" = 2 / 2/3

x" = 2 • 3/2

x" = 6/2

x" = 3

Ou seja, a parábola intercepta o eixo "x" nos pontos 0 e 3

*** Por fim, a única alternativa que nos informa uma parábola com concavidade para baixo e intercepta o eixo "x" no pontos 0 e 3 é a alternativa E)

Bons estudos!