Question

Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t:

Answer 1

Resposta:

$T(0)=\left \langle \frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3} \right \rangle$

Explicação passo-a-passo:

Podemos obter o vetor desejado pela relação:

$T(t)=\frac{\vec{r}'(t)}{\left \|\vec{r}'(t) \right \|}$

Vamos inicialmente derivar $\vec{r}(t)$. No caso da componente $te^{-t}$, ficamos com:

$\frac{d}{dt}(te^{-t})=\frac{dt}{dt}\cdot e^{-t}+t\cdot \frac{d}{dt}(e^{-t})$

$\frac{d}{dt}(te^{-t})=e^{-t}+t\cdot e^{-t}\frac{d}{dt}(-t)$

$\frac{d}{dt}(te^{-t})=e^{-t}+t\cdot e^{-t}\cdot (-1)$

$\frac{d}{dt}(te^{-t})=e^{-t}-te^{-t}$

$\frac{d}{dt}(te^{-t})=e^{-t}(1-t)$

Vamos agora para a componente $2\arctan(t)$:

$\frac{d}{dt}(2\arctan(t))=2\frac{d}{dt}(\arctan(t))$

$\frac{d}{dt}(2\arctan(t))=2\cdot \frac{1}{1+t^2}$

$\frac{d}{dt}(2\arctan(t))=\frac{2}{1+t^2}$

Por fim, vamos para a derivada da componente de $2e^t$:

$\frac{d}{dt}(2e^t)=2\frac{d}{dt}(e^t)$

$\frac{d}{dt}(2e^t)=2e^t$

Concluindo assim que $\vec{r}'(t)=\left \langle e^{-t}(1-t),\frac{2}{1+t^2},2e^t \right \rangle$, logo:

$\vec{r}'(0)=\left \langle e^{-0}(1-0),\frac{2}{1+0^2},2e^0 \right \rangle$

$\vec{r}'(0)=\left \langle 1,2,2 \right \rangle$

Como o vetor não é unitário, dividimos ele por seu módulo, concluindo assim que:

$T(0)=\frac{\left \langle 1,2,2 \right \rangle}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$

$T(0)=\frac{\left \langle 1,2,2 \right \rangle}{\sqrt{9}}$

$T(0)=\frac{\left \langle 1,2,2 \right \rangle}{3}$

$T(0)=\left \langle \frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3} \right \rangle$