Question

Determine os números a e b tais que a reta r : (x, y, z) = (a, 2, 0) + t(2, b, a) estejam contidas em um plano pi: x -3y+z=1

Answer 1

Os números a e b são, respectivamente, 7 e 3.

Perceba que o vetor normal do plano deve ser perpendicular ao vetor direção da reta.

O vetor normal do plano é (1, -3, 1). Já o vetor direção da reta é (2, b, a). Logo, o produto interno é igual a zero, ou seja:

(1, -3, 1).(2, b, a) = 0

1.2 + (-3).b + 1.a = 0

2 - 3b + a = 0

a - 3b = -2.

Como queremos que a reta esteja contida no plano, então o ponto (a, 2, 0) deverá pertencer ao plano pi.

Substituindo as coordenadas desse ponto na equação x - 3y + z = 1, obtemos o valor de a:

a - 3.2 + 0 = 1

a - 6 = 1

a = 7.

Consequentemente, o valor de b é:

7 - 3b = -2

3b = 7 + 2

3b = 9

b = 3.